ntvНаучно-технический вестник информационных технологий, механики и оптикиScientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics2226-14942500-0373Университет ИТМО10.17586/2226-1494-2024-24-2-306-313ntv-101Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMODELING AND SIMULATIONОт конструирования вейвлетов на основе производных функции Гаусса к синтезу фильтров с конечной импульсной характеристикойFrom the construction of wavelets based on derivatives of the Gaussian function to the synthesis of filters with a finite impulse responsehttps://orcid.org/0000-0001-8968-7459СеменовВ. И.SemenovV. I.

Семенов Владимир Ильич — кандидат технических наук, доцент, доцент 

 Чебоксары, 428015 

 sc 57220088140 

 Vladimir I. Semenov — PhD, Associate Professor, Associate Professor 

 Cheboksary, 428015 

 sc 57220088140 

syundyukovo@yandex.ruhttps://orcid.org/0000-0002-4946-3685ЧумаровС. Г.ChumarovS. G.

Чумаров Сергей Геннадьевич — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой 

 Чебоксары, 428015 

 sc 57212552735 

 Sergey G. Chumarov — PhD, Associate Professor, Head of Department

 Cheboksary, 428015 

 sc 57212552735 

chumarov@mail.ruЧувашский государственный университет имени И.Н. УльяноваРоссияChuvash State University named after I.N. UlyanovRussian Federation202412122024242306313Copyright © Семенов В.И., Чумаров С.Г., 20242024Семенов В.И., Чумаров С.Г.Semenov V.I., Chumarov S.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://ntv.elpub.ru/jour/article/view/101

Введение. Для непрерывного вейвлет-преобразования традиционно используются вейвлеты на основе производных функции Гаусса, а для кратномасштабного анализа — вейвлеты Добеши. Разработка алгоритмов прямого и обратного непрерывного вейвлет-преобразования в частотной области позволила в настоящей работе синтезировать цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой методом, отличным от существующих. Качество синтезированных фильтров проверялось декомпозицией и последующей реконструкцией сигналов. Для этого синтезировались несколько фильтров, полностью покрывающих частотный диапазон сигнала. Так как вейвлеты являются полосовыми фильтрами, авторы назвали фильтры вейвлетами. Чем точнее реконструированный сигнал повторяет форму оригинального сигнала, тем лучше вейвлет, сконструированный тем или иным методом. Сравнение точности реконструкции сигналов показывает, что лучший результат преобразования получается при применении именно синтезированных вейвлетов. Метод. Импульсные характеристики фильтров с конечной импульсной характеристикой синтезируются таким образом, чтобы их амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) были схожи на АЧХ вейвлетов на основе производных функции Гаусса большого порядка. Чем больше порядок фильтра, тем ближе АЧХ к прямоугольной форме. Основные результаты. Предложены алгоритмы прямого и обратного вейвлет-преобразования сигнала в частотной области с применением вейвлетов на основе производных функции Гаусса. Профилирование программы синтеза показало, что время вейвлет-преобразования с использованием быстрого преобразования Фурье в 15 000 раз меньше, чем при прямом численном интегрировании для экспериментальной выборки сигнала в 32 768 отсчетов. Эти алгоритмы можно использовать для вейвлетов с прямоугольной АЧХ. При этом время численного вычисления уменьшается еще в два раза. Точность реконструкции сравнивалась для вейвлетов на основе производных второго порядка, вейвлетов Добеши, и вейвлетов с прямоугольной АЧХ. Точность реконструкции оказалась наивысшей для вейвлетов с прямоугольной АЧХ. В работе представлены импульсные характеристики двухполосного, трехполосного цифровых фильтров и их АЧХ. Обсуждение. Использование предложенного метода конструирования вейвлетов наиболее предпочтительно ввиду его относительной простоты и возможности синтезировать многополосные фильтры с любой формой АЧХ. При синтезе существующими методами можно получить лишь «короткую» переходную полосу только для «длинных» импульсных характеристик, то для сконструированных предложенным методом вейвлетов даже для фильтров очень маленьких порядков переходные полосы практически отсутствуют. Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой с прямоугольной АЧХ имеют большой коэффициент ослабления в полосе задерживания по сравнению существующими фильтрами с конечной импульсной характеристикой и могут быть использованы для обработки одномерных и двумерных сигналов.

For continuous wavelet transformation, wavelets based on derivatives of the Gauss function are used, and for multiscale analysis, Daubechies wavelets are used. The development of algorithms for forward and inverse continuous wavelet transform in the frequency domain made it possible in this work to synthesize digital filters with a finite impulse response (FIR) different from existing methods. The quality of the synthesized filters was checked by decomposition and subsequent reconstruction of the signals. To do this, several filters were synthesized that completely cover the frequency range of the signal. Since wavelets are bandpass filters, the authors called the filters wavelets. The more precisely the reconstructed signal repeats the shape of the original signal, the better the wavelet constructed by one method or another. A comparison of the accuracy of signal reconstruction shows that the best conversion result is obtained by using synthesized wavelets. The impulse responses of the FIR filters are synthesized so that their frequency response are similar to the frequency responses of wavelets based on derivatives of the Gaussian function of a large order. The greater the filter order, the closer the frequency response is to a square-wave shape. Algorithms for forward and inverse wavelet transformation of a signal in the frequency domain using wavelets based on derivatives of the Gauss function are proposed. Profiling of the program shows that the time of the wavelet transforms using the fast Fourier transform is 15,000 times less than with the direct numerical integration for sampling the signal of 32,768 samples. These algorithms can be used for wavelets with a square-wave frequency response. At the same time, the numerical calculation time is halved. The accuracy of the reconstruction was compared for wavelets based on second-order derivatives, Daubechies wavelets, and wavelets with a square-wave frequency response. The reconstruction accuracy is highest for the latest wavelets. The use of the wavelet construction method is preferable since this method is relatively simple and it is easy to synthesize multiband filters with any form of frequency response. If, when synthesizing using existing methods, a short transition band can be obtained only for long impulse responses, while the transition band using the method of constructing wavelets is absent even for filters of very small orders. The paper presents the impulse responses of twoband, three-band digital filters and their frequency response. FIR digital filters with a square-wave frequency response have a higher delay-band attenuation coefficient compared to existing filters, do not have transition band, and can be used to process one-dimensional and two-dimensional signals.

вейвлет-преобразованиеимпульсная характеристикареконструкциякратномасштабный анализалгоритм Маллаамплитудно-частотная характеристикасинтезцифровой фильтрwavelet transformimpulse responsereconstructionmultiscale analysisMallat algorithmfrequency responsesynthesisdigital filterReferencesPalani S. Design of finite impulse response (FIR) digital filters // Discrete Time Systems and Signal Processing. Springer, Cham. 2023. P. 591–732. https://doi.org/10.1007/978-3-031-32421-5_5Palani S. Design of finite impulse response (FIR) digital filters. Discrete Time Systems and Signal Processing. Springer, Cham, 2023, pp. 591–732. https://doi.org/10.1007/978-3-031-32421-5_5Berber S. Theory of the design, and operation of digital filters // Discrete Communication Systems. Oxford University Press, 2021. P. 797–823. https://doi.org/10.1093/oso/9780198860792.003.0016Berber S. Theory of the design, and operation of digital filters. Discrete Communication Systems. Oxford University Press, 2021, pp. 797–823. https://doi.org/10.1093/oso/9780198860792.003.0016Kennedy H.L. Lecture notes on the design of low-pass digital filters with wireless-communication applications // arXiv. 2022. arXiv:2211.07123. https://doi.org/10.48550/arXiv.2211.07123Kennedy H.L. Lecture notes on the design of low-pass digital filters with wireless-communication applications. arXiv, 2022, arXiv:2211.07123. https://doi.org/10.48550/arXiv.2211.07123Agrawal N., Kumar A., Bajaj V., Singh G.K. Design of digital IIR filter: A research survey // Applied Acoustics. 2021. V. 172. P. 107669. https://doi.org/10.1016/j.apacoust.2020.107669Agrawal N., Kumar A., Bajaj V., Singh G.K. Design of digital IIR filter: A research survey. Applied Acoustics, 2021, vol. 172, pp. 107669. https://doi.org/10.1016/j.apacoust.2020.107669Penedo S.R.M., Netto M.L., Justo J.F. Designing digital filter banks using wavelets // EURASIP Journal on Advances in Signal Processing. 2019. P. 33. https://doi.org/10.1186/s13634-019-0632-6Penedo S.R.M., Netto M.L., Justo J.F. Designing digital filter banks using wavelets. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2019, pp. 33. https://doi.org/10.1186/s13634-019-0632-6Ďuriš V., Semenov V.I., Chumarov S.G. Application of Continuous Fast Wavelet Transform for Signal Processing. London: Sciemcee Publishing, 2021. 181 p.Ďuriš V., Semenov V.I., Chumarov S.G. Application of Continuous Fast Wavelet Transform for Signal Processing. London, Sciemcee Publishing, 2021, 181 p.Солонина А.И., Клионский Д.М., Меркучева Т.В., Перов С.Н. Цифровая обработка сигналов и MATLAB: учеб. пособие. СПб.: БХВ-Петербург, 2013. 512 с.Solonina A.I., Klionskii D.M., Merkucheva T.V., Perov S.N. Digital Signal Processing and MATLAB. St. Petersburg, BHV-Petersburg, 2013, 512 p. (in Russian)Daubeches I. Ten Lectures on Wavelets. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. 357 p.Daubeches I. Ten Lectures on Wavelets. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, 357 p.Mallat S.G. A Wavelet Tour of Signal Processing. San Diego, CA, USA: Academic Press, 1999. 620 p.Mallat S.G. A Wavelet Tour of Signal Processing. San Diego, CA, USA, Academic Press, 1999, 620 p.Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. М.: ИАнП РАН, 1999. 152 с.Novikov L.V. Basics of Wavelet Signal Analysis. Moscow, The Institute for Analytical Instrumentation RAS, 1999, 152 p. (in Russian)Желтов П.В., Семенов В.И. Вейвлет-анализ акустического сигнала // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. 2008. № 4. С. 68–71.Zheltov P.V., Semyonov V.I. Wavelet analysis of acoustic signals. Vestnik of KNRTU a.n. A.N.Tupolev, 2008, no. 4, pp. 68–71. (in Russian)Желтов П.В., Семенов В.И., Трофимова А.И., Шурбин А.К. Алгоритмы идентификации фонем и формирования слова в системах распознавания речи на основе вейвлет-преобразования // Вестник Чувашского университета. 2014. № 2. С. 98–102.Zheltov P., Semenov V., Trofimova A., Shurbin A. Algorithms for phoneme identification and forming the word in a speech recognition system based on wavelet-transform. Bulletin of Chuvash University, 2014, no. 2, pp. 98–102. (in Russian)Шумарова О.С., Игнатьев С.А. Оптимальный выбор вида вейвлета при обработке сигнала с вихретокового датчика // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. Т. 4. № 1(73). С. 128–132. 14. Ďuriš V., Chumarov S.G., Mikheev G.M., Mikheev K.G., Semenov V.I. The orthogonal wavelets in the frequency domain used for the images filtering // IEEE Access. 2020. V. 8. P. 211125–211134. https://doi.org/10.1109/ACCESS.2020.3039373Shumarova O.S., Ignatyev S.A. Optimum choice of a wavelet when processing signals of eddy current sensors. Vestnik SGTU, 2013, vol. 4, no. 1(73), pp. 128–132. (in Russian)Ďuriš V., Semenov V.I., Chumarov S.G.. Wavelets and digital filters designed and synthesized in the time and frequency domains // Mathematical Biosciences and Engineering. 2022. V. 19. N 3. P. 3056–3068. https://doi.org/10.3934/mbe.2022141Ďuriš V., Chumarov S.G., Mikheev G.M., Mikheev K.G., Semenov V.I. The orthogonal wavelets in the frequency domain used for the images filtering. IEEE Access, 2020, vol. 8, pp. 211125– 211134. https://doi.org/10.1109/ACCESS.2020.3039373Ďuriš V., Chumarov S.G., Semenov V.I. Increasing the speed of multiscale signal analysis in the frequency domain // Electronics. 2023. V. 12. N 3. P. 745. https://doi.org/10.3390/electronics12030745Ďuriš V., Semenov V.I., Chumarov S.G.. Wavelets and digital filters designed and synthesized in the time and frequency domains. Mathematical Biosciences and Engineering, 2022, vol. 19, no. 3, pp. 3056–3068. https://doi.org/10.3934/mbe.2022141Семенов В.И., Чумаров С.Г. Уменьшение времени обратного вейвлет-преобразования изображения с применением симметричного ортогонального вейвлета. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2023664790. 07.07.2023.Ďuriš V., Chumarov S.G., Semenov V.I. Increasing the speed of multiscale signal analysis in the frequency domain. Electronics, 2023, vol. 12, no. 3, pp. 745. https://doi.org/10.3390/electronics12030745Semenov V.I., Chumarov S.G. Reducing the time of inverse wavelet transform of an image using a symmetric orthogonal wavelet. Certificate of registration of a computer program RU 2023664790, 07.07.2023. (in Russian)Semenov V.I., Chumarov S.G. Reducing the time of inverse wavelet transform of an image using a symmetric orthogonal wavelet. Certificate of registration of a computer program RU 2023664790, 07.07.2023. (in Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.