Толстых Виктор Николаевич — кандидат технических наук, доцент
Санкт-Петербург, 190000
Victor N. Tolstykh — PhD, Associate Professor
Saint Petersburg, 190000
Введение. Представлен новый метод гладкой кусочно-полиномиальной аналитической аппроксимации экспериментальных данных любой размерности и степени изменчивости. Альтернативой данному методу являются кубические и бикубические сплайны, которые имеют свои достоинства и недостатки. Исследования, направленные на создание более гибких методов гладкой аппроксимации больших данных, активно ведутся учеными, но подобного аналога, представленного в настоящей работе, автором не найдено, в том числе и для многомерных зависимостей. Метод. Экспериментальные данные часто зависят от многих переменных, которые для задач компрессии, прогноза и передачи данных локально могут быть аппроксимированы простыми аналитическими функциями. Они могут быть локальными полиномами как на интервалах в одномерном случае, так и на полигонах в многомерных случаях. Представленный в работе метод гладкого согласования локальных функций между собой может быть расширен с одномерной кусочно-полиномиальной аппроксимации на более высокие размерности, что имеет множество научных и практических применений. В данном случае можно сохранять и передавать коэффициенты локальных полиномов или других локальных функций вместо того, чтобы использовать исходные данные, часто имеющие чрезмерно большой объем. В описываемом методе использовано клеточное разбиение области интереса и на этих клетках определены локальные функции — полиномы низких степеней или другие параметрические функции. В местах соединения клеток задаются переходные зоны, в которых локальные функции согласуются друг с другом, образуя достаточно гладкий переход между ними. Количество локальных функций в точке совпадает с ее индексом топологического покрытия. Результатом является единая, дважды дифференцируемая аналитическая функция. Для гладкого согласования локальных функций используются базовые функции, основанные на специальных полиномах второй или третьей степени. Значения этих функций плавно уменьшаются от единицы до нуля. Значения производной базовой функции на обоих концах интервала равны нулю. Согласование представлено гомотопическим преобразованием, отображающим единичный интервал в пространство функций. Для одномерной зависимости эффективность метода представлена примером согласования набора локально заданных парабол. Метод расширен на двумерный случай путем применения известного в математике приема клеточного разбиения компакта с покрытием его топологическими картами. Вычислительный эксперимент показал, что и в этом случае локальные функции согласуются на всем компакте, образуя единую дважды дифференцируемую функцию. Основные результаты. Результатом исследования является разработка нового метода гладкого согласования локальных параметрических функций, осуществляющих аппроксимацию экспериментальных данных на интервале произвольного размера. Представленный метод основан на топологическом разбиении единицы и согласовании двумерных локальных функций, осуществляющих аппроксимацию на двумерном компакте. Выполнено теоретическое обоснование возможности расширения метода согласования на произвольные размерности компакта, на клетках которого заданы локальные полиномиальные и другие аппроксимирующие функции. Обсуждение. Решена задача разработки и частичного обоснования концепта создания полезного инструмента для хранения и передачи экспериментальных информационных данных.
This work presents a new piecewise polynomial method of smooth analytic approximation for any dimension and variability of experimental data. Alternatives to this method are cubic and bicubic splines which have their advantages and disadvantages. There are many researches in the field of big data flexible approximation; however nothing similar was found to what is presented in the work, especially concerning multivariate dependencies. Experimental data frequently depend on many variables which for the purposes of compression, prediction, and transmission locally expressed by relatively simple analytic functions. It can be local polynomials, either on some intervals in onedimensional case or polygons — in two-dimensional cases. Presented in the work method of local functions smooth matching extends from the one-dimension piecewise polynomial approximation method to higher dimensions that has a variety of scientific and practical applications. Under this condition, it makes sense to store and transmit coefficients of local polynomials or other local functions rather than use raw data for those purposes, which frequently requires an unacceptably large amount of resources. In the method described, we use cellular subdivision of the area of interest, and define low-degree polynomials or other parametric functions on the cells. At the junctions between cells, there are overlapping transition zones where local functions match to each other. Their amount is defined by the index of the topological compact covering. As a result, the matching obtains a single double-differentiable analytic function on the entire compact. Defined in the work basic functions are second- and third-degree especial polynomials. The values of these functions smoothly transit from one to zero within a closed unit interval. Derivatives on the interval edges both are equal to zero. The matching is performed by the homotopy which maps a unit interval to the space of functions. Efficiency of the method is demonstrated for one-dimensional case by matching a set of approximating parabolas. We extend this method to the two-dimensional case by applying the known unit partitioning technique with topological maps coverage. The computational experiment demonstrates that even in this case local functions smoothly match making a double-differentiable function on the entire compact. First result is a development of a smooth matching method for experimental data approximation by local parametric functions on a large interval. Second result is development of a new method, based on a unit partitioning, for matching two-dimensional local functions making an approximation on the two-dimensional compact. Third result is a theoretical proof of the method extension from dimension of one and two to any dimension. Task of this study consisted in the development of a useful tool for efficient storage and transmission of experimental data.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.