Ефимов Александр Сергеевич — кандидат технических наук, доцент, независимый исследователь
Санкт-Петербург
Alexandr S. Efimov — PhD, Associate Professor, Independent Researcher
Saint Petersburg
Рассмотрена задача цифрового моделирования случайных процессов с заданной корреляционной функцией или спектральной плотностью процесса. Обе эти функции связаны между собой теоремой Винера–Хинчина, так что знание одной функции может быть использовано для нахождения другой. Выполнена разработка математического представления стационарного случайного процесса с заданной корреляционной функцией на основе преобразования Карунена–Лоэва, которое чаще всего применяется для декорреляции исходного процесса с целью более лаконичного его описания (задача сжатия данных). Предложено использование преобразования Карунена–Лоэва для придания требуемых корреляционных свойств исходному некоррелированному случайному процессу с помощью обращения (инвертирования) данного преобразования. Обоснован вид требуемого преобразования при дискретном (во времени) представлении входных и выходных процессов различной длины и методики обеспечения требуемой точности моделирования. Представлена цифровая процедура получения корреляционной функции по заданной спектральной плотности моделируемого случайного процесса. Экспериментальное исследование предлагаемого метода проведено в ходе компьютерного моделирования в пакете Mathcad, что упростило решение требуемых расчетных задач. Исходный случайный процесс получен в виде последовательности независимых (и, следовательно, некоррелированных) случайных чисел, а выходной — как результат полученного в работе преобразования. Выполнено сравнение вычисленной приближенной корреляционной функции с заданной, и определена дисперсия погрешности. Приведены результаты моделирования случайных процессов с заданными корреляционными функциями и однородного марковского процесса с заданной переходной вероятностью, а также пример перехода от заданной спектральной плотности случайного процесса к его корреляционной функции. Полученные результаты подтверждают эффективность и реализуемость разработанных методов моделирования, что позволит использовать их при компьютерном исследовании и проектировании различных систем.
The problem of digital modeling of random processes with given either correlation function or spectral density of the process is considered. These functions of a random process are interconnected by the Wiener–Khinchin theorem. The solution of one function can be used to solve another. The development of a mathematical representation of a stationary random process with a given correlation function based on the Karhunen-Loeve transformation, which is most often used to decorrelate the original process in order to describe it more concisely (data compression problem), has been completed. It is proposed to use the Karhunen–Loev transformation to impart the required correlation properties to the original uncorrelated random process by inverting (converting) this transformation. The form of the required transformation for a discrete (in time) representation of input and output processes of various lengths and methods for ensuring the required modeling accuracy are substantiated. A procedure for obtaining a correlation function from a given spectral density of a simulated random process is presented. An experimental study of the proposed method was carried out in the course of computer simulation in the Mathcad package which simplified the solution of the required computational problems. The initial random process was obtained as a sequence of independent (and, therefore, uncorrelated) random numbers, and the output process, as a result of the transformation, was obtained in the work. The calculated approximate correlation function is compared with the given one and the error variance is determined. The results of modeling random processes with given correlation functions and a homogeneous Markov process with a given transition probability are given as well as an example of the transition from a given spectral density of a random process to its correlation function. The results obtained confirm the effectiveness and feasibility of the developed modeling methods which will allow them to be used in computer research and design of various systems.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.