ntvНаучно-технический вестник информационных технологий, механики и оптикиScientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics2226-14942500-0373Университет ИТМО10.17586/2226-1494-2024-24-3-500-504ntv-359Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMODELING AND SIMULATIONО влиянии сосредоточенного включения на спектр собственных колебаний струны и балки Бернулли–ЭйлераOn the influence of a concentrated inclusion on the spectrum of natural vibrations of a string and Bernoulli-Euler beamhttps://orcid.org/0000-0002-0137-152XВавиловД. С.VavilovD. S.

Вавилов Дмитрий Сергеевич — кандидат физико-математических наук, доцент

Санкт-Петербург, 197198

Dmitry S. Vavilov — PhD (Physics & Mathematics), Associate Professor

Saint Petersburg, 197198

https://orcid.org/0000-0002-2691-7680ГоловинаВ. В.GolovinaV. V.

Головина Виктория Владимировна — кандидат технических наук, доцент, доцент

Санкт-Петербург

Victoria V. Golovina — PhD, Associate Professor, Associate Professor

Saint Petersburg, 197198

https://orcid.org/0000-0002-1228-8377КудрявцевА. А.KudryavtsevA. A.

Кудрявцев Алексей Андреевич — инженер-исследователь

Санкт-Петербург, 195251

Aleksey A. Kudryavtsev — Research Engineer

Saint Petersburg, 195251

Военно-космическая академия имени А.Ф. МожайскогоРоссияMozhaisky Military Aerospace AcademyRussian FederationСанкт-Петербургский политехнический университет Петра ВеликогоРоссияPeter the Great St. Petersburg Polytechnic UniversityRussian Federation202419122024243500504Copyright © Вавилов Д.С., Головина В.В., Кудрявцев А.А., 20242024Вавилов Д.С., Головина В.В., Кудрявцев А.А.Vavilov D.S., Golovina V.V., Kudryavtsev A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://ntv.elpub.ru/jour/article/view/359

Предмет исследования. Представлены результаты исследования малых поперечных колебаний струны и балки Бернулли–Эйлера с сосредоточенным включением. Физические характеристики струны и балки считаются постоянными величинами, а включение моделируется с помощью дельта-функции Дирака и описывается двумя параметрами: местоположением и массой. Рассматривается задача об определении этих параметров по измерению сдвига резонансной частоты. Метод. В качестве основного метода исследования предложено разложение функции перемещения по собственным формам. Коэффициенты разложения определяются с помощью метода Гринберга. В случае точечного дефекта их подстановка в исходное разложение позволяет получить характеристическое уравнение, определяющее влияние включения на собственные частоты струны и балки. Основные результаты. Представлено аналитическое решение задачи о малых поперечных колебаниях струны и балки Бернулли–Эйлера с точечным включением. Предложен метод нахождения частотных уравнений, полностью определяющих его влияние на спектр колебаний. На основе предложенного метода выведены соотношения, позволяющие идентифицировать параметры включения, получены зависимости этих параметров от сдвига резонансной частоты. Показана возможность независимого определения массы и местоположения дефекта по измерению сдвига двух собственных частот. Обсуждение. Работа направлена на развитие аналитических методов моделирования динамики континуальных механических систем с неоднородной структурой. Описание их динамического отклика представляет значительный практический интерес при создании различного типа датчиков, таких как акселерометры, датчики скорости, давления и другие. Полученные результаты могут быть использованы при разработке детекторов массы, работа которых основана на изменении собственной частоты колебаний.

The results of a study of small transverse vibrations of a string and Bernoulli-Euler beam with a concentrated inclusion are presented. The physical properties of the string and the beam are assumed to be constant, the inclusion is modeled using the Dirac delta function and described by two parameters: location and mass. The problem of determining these parameters by measuring the shift of the resonant frequency is considered. The basic method is the eigenfunction expansion of displacement. Expansion coefficients are determined using the Greenberg method. Their substitution into the original expansion in the case of a point defect allows us to obtain a characteristic equation that determines the effect of inclusion on the string and beam natural frequencies. An analytical solution to the problem of small transverse vibrations of a string and Bernoulli-Euler beam with a point inclusion is presented. A method for possesing frequency equations that completely determine the influence of inclusion on the oscillation spectrum is proposed. Basing on the proposed method, expressions for identifying the inclusion parameters are derived, and the dependences of these parameters on the resonant frequency shift are presented. The possibility of independently determining the mass and location of the defect by measuring the shift of two natural frequencies is shown. The work is aimed at developing analytical methods for modeling the dynamics of continuum mechanical systems with a heterogeneous structure. The description of their dynamic response is of significant practical interest for creating various types of sensors, such as accelerometers, speed sensors, pressure sensors and others. The results obtained in this article can be used in the elaboration of mass detectors, the operation of which is based on changes in the natural frequency of oscillations.

балка Бернулли–Эйлераструнаспектральная задачасобственные частотысосредоточенное включениеBernoulli-Euler beamstringspectral problemnatural frequenciesconcentrated inclusionReferencesGlazov A.L., Muratikov K.L. Generalized thermoelastic effect in real metals and its application for describing photoacoustic experiments with Al membranes // Journal of Applied Physics. 2020. V. 128. N 9. P. 095106. https://doi.org/10.1063/5.0013308Glazov A.L., Muratikov K.L. Generalized thermoelastic effect in real metals and its application for describing photoacoustic experiments with Al membranes. Journal of Applied Physics, 2020, vol. 128, no. 9, pp. 095106. https://doi.org/10.1063/5.0013308Glazov A.L., Muratikov K.L. The influence of mechanical stresses on the characteristics of laser-ultrasonic signals in the vicinity of a hole in silicon nitride ceramics // Technical Physics Letters. 2021. V. 47. N 8. P. 605–608. https://doi.org/10.1134/s1063785021060225Glazov A.L., Muratikov K.L. The influence of mechanical stresses on the characteristics of laser-ultrasonic signals in the vicinity of a hole in silicon nitride ceramics. Technical Physics Letters, 2021, vol. 47, no. 8, pp. 605–608. https://doi.org/10.1134/s1063785021060225Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Влияние дефекта массы на частоты и формы продольных колебаний стержня // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2014. № 1. С. 135–144.Akulenko L.D., Nesterov S.V. Mass defect influence on the longitudinal vibration frequencies and mode shapes of a beam. Mechanics of Solids, 2014, vol. 49, no. 1, pp. 104–111. https://doi.org/10.3103/s0025654414010129Akulenko L.D., Baidulov V.G., Georgievskii D.V., Nesterov S.V. Evolution of natural frequencies of longitudinal vibrations of a bar as its cross-section defect increases // Mechanics of Solids. 2017. V. 52. N 6. P. 708–714. https://doi.org/10.3103/s0025654417060103Akulenko L.D., Baidulov V.G., Georgievskii D.V., Nesterov S.V. Evolution of natural frequencies of longitudinal vibrations of a bar as its cross-section defect increases. Mechanics of Solids, 2017, vol. 52, no. 6, pp. 708–714. https://doi.org/10.3103/s0025654417060103Rabinovich D., Givoli D., Turkel E. Single-field identification of inclusions and cavities in an elastic medium // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2024. V. 125. N 1. P. e7364. https://doi.org/10.1002/nme.7364Rabinovich D., Givoli D., Turkel E. Single-field identification of inclusions and cavities in an elastic medium. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2024, vol. 125, no. 1, pp. e7364. https://doi.org/10.1002/nme.7364Thiruvenkatanathan P., Yan J., Woodhouse J., Aziz A., Seshia A.A. Ultrasensitive mode-localized mass sensor with electrically tunable parametric sensitivity // Applied Physics Letters. 2010. V. 96. N 8. P. 081913. https://doi.org/10.1063/1.3315877Thiruvenkatanathan P., Yan J., Woodhouse J., Aziz A., Seshia A.A. Ultrasensitive mode-localized mass sensor with electrically tunable parametric sensitivity. Applied Physics Letters, 2010, vol. 96, no. 8, pp. 081913. https://doi.org/10.1063/1.3315877Pachkawade V. State-of-the-art in mode-localized MEMS coupled resonant sensors: A comprehensive review // IEEE Sensors Journal. 2021. V. 21. N 7. P. 8751–8779. https://doi.org/10.1109/jsen.2021.3051240Pachkawade V. State-of-the-art in mode-localized MEMS coupled resonant sensors: A comprehensive review. IEEE Sensors Journal, 2021, vol. 21, no. 7, pp. 8751–8779. https://doi.org/10.1109/jsen.2021.3051240Индейцев Д.А., Можгова Н.В., Лукин А.В., Попов И.А. Модель микромеханического модально-локализованного акселерометра с чувствительным элементом в виде балки с начальной погибью // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2023. № 3. С. 135–151. https://doi.org/10.31857/S0572329922600645Indeitsev D.A., Mozhgova N.V., Lukin A.V., Popov I.A. Model of a micromechanical mode-localized accelerometer with an initially curved microbeam as a sensitive element. Mechanics of Solids, 2023, vol. 58 , no. 3, pp. 779–792 . https://doi.org/10.3103/S0025654422601355Dohn S., Svendsen W., Boisen A., Hansen O. Mass and position determination of attached particles on cantilever based mass sensors // Review of Scientific Instruments. 2007. V. 78. N 10. P. 103303. https://doi.org/10.1063/1.2804074Dohn S., Svendsen W., Boisen A., Hansen O. Mass and position determination of attached particles on cantilever based mass sensors. Review of Scientific Instruments, 2007, vol. 78, no. 10, pp. 103303. https://doi.org/10.1063/1.2804074Schmid S., Dohn S., Boisen A. Real-time particle mass spectrometry based on resonant micro strings // Sensors. 2010. V. 10. N 9. P. 8092– 8100. https://doi.org/10.3390/s100908092Schmid S., Dohn S., Boisen A. Real-time particle mass spectrometry based on resonant micro strings. Sensors, 2010, vol. 10, no. 9, pp. 8092–8100. https://doi.org/10.3390/s100908092Bouchaala A., Nayfeh A.H., Jaber N., Younis M.I. Mass and position determination in MEMS mass sensors: a theoretical and an experimental investigation // Journal of Micromechanics and Microengineering. 2016. V. 26. N 10. P. 105009. https://doi.org/10.1088/0960-1317/26/10/105009Bouchaala A., Nayfeh A.H., Jaber N., Younis M.I. Mass and position determination in MEMS mass sensors: a theoretical and an experimental investigation. Journal of Micromechanics and Microengineering, 2016, vol. 26, no. 10, pp. 105009. https://doi.org/10.1088/0960-1317/26/10/105009Bouchaala A., Nayfeh A.H., Younis M.I. Frequency shifts of micro and nano cantilever beam resonators due to added masses // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2016. V. 138. N 9. P. 091002. https://doi.org/10.1115/1.4033075Bouchaala A., Nayfeh A.H., Younis M.I. Frequency shifts of micro and nano cantilever beam resonators due to added masses. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 2016, vol. 138, no. 9, pp. 091002. https://doi.org/10.1115/1.4033075Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М: Высшая школа, 1980. 406 с.Biderman V.L. Mechanical Vibration Theory. Moscow, Vysshaja shkola Publ., 1980, 406 p. (in Russian)Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ, 2004. 414 с.Sveshnikov A.G., Bogoliubov A.N., Kravtcov V.V. Lectures in Mathematical Physics. Moscow, MSU Publ., 2004, 414 p. (in Russian)Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Физматлит, 1981. 798 с.Prudnikov A.P., Brychkov Iu.A., Marichev O.I. Integrals and Series. Moscow, Fizmatlit Publ., 1981, 798 p. (in Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.