ntvНаучно-технический вестник информационных технологий, механики и оптикиScientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics2226-14942500-0373Университет ИТМО10.17586/2226-1494-2023-23-3-646-651ntv-41Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMODELING AND SIMULATIONОценка моментов квантованной случайной величиныEstimation of the moments of a quantized random variablehttps://orcid.org/0000-0003-4191-1348ЛомакинМ. И.LomakinM. I.

Ломакин Михаил Иванович — доктор технических наук, доктор экономических наук, профессор, главный научный сотрудник

sc 7003352786 

Москва, 121352 

Mikhail I. Lomakin — D.Sc. (Engineering), D.Sc. (Economics), Chief Researcher

sc 7003352786 

Moscow, 121352

mlomakin@yandex.ruhttps://orcid.org/0000-0002-3342-8770ДокукинА. В.DokukinA. V.

Докукин Александр Владимирович — доктор экономических наук, главный научный сотрудник

sc 56161047500 

Москва, 121352 

Alexander V. Dokukin — D.Sc. (Economics), Chief Researcher 

sc 56161047500 

Moscow, 121352

aldokukin@yandex.ruВсероссийский научно-исследовательский институт по проблемам гражданской обороны и чрезвычайных ситуаций МЧС РоссииРоссияAll-Russian Scietific Reserch Institute for Civil Defence and Emergencies of the EMERCOM of RussiaRussian Federation202311122024233646651Copyright © Ломакин М.И., Докукин А.В., 20242024Ломакин М.И., Докукин А.В.Lomakin M.I., Dokukin A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://ntv.elpub.ru/jour/article/view/41

Введение. Значительная часть исследований проблем квантования случайных величин посвящена практическим аспектам оптимального заполнения информации квантования. Для этих целей используют количественные характеристики квантуемых случайных величин, такие как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. При этом применяют известные параметрические распределения: равномерное, экспоненциальное, нормальное и др. В реальных ситуациях идентифицировать исходное параметрическое распределение по имеющейся статистической информации не представляется возможным. Предложена непараметрическая модель определения таких числовых характеристик квантуемой случайной величины как высшие начальные моменты. Метод. Математическая формализация задачи оценки высших начальных моментов квантованной случайной величины в условиях неполных данных, представленных малыми выборками. Формализация выполнена в виде модели оптимизации определенного интеграла от кусочно-непрерывной функции, удовлетворяющей определенным условиям. Итоговые оценки высших начальных моментов квантуемой случайной величины найдены как экстремальные (нижние и верхние) оценки определенного интеграла на множестве функций распределения с заданными моментами, равными выборочным моментам квантуемой случайной величины. Основные результаты. Представлена модель высших начальных моментов квантованной случайной величины в виде определенного интеграла от кусочно-непрерывной функции. Решена в общем случае задача нахождения экстремальных (нижних и верхних) оценок высших начальных моментов квантованной случайной величины на множестве функций распределения с заданными моментами. Приведены примеры нахождения высших начальных моментов и оптимального квантования случайной величины. Обсуждение. Полученные результаты могут быть использованы специалистами при оценке и оптимизации квантования различной информации, представленной случайными сигналами.

A significant part of the research on the problems of quantization of random variables is devoted to practical aspects of optimal quantization in the sense of filling in information. For these purposes, certain quantitative characteristics of quantized random variables are used, such as: mathematical expectation, variance and mean square deviation. At the same time, to determine the quantitative characteristics of quantized random variables, as a rule, well-known parametric distributions are used: uniform, exponential, normal and others. In real situations, it is not possible to identify the initial parametric distribution based on the available statistical information. In this paper, a nonparametric model is proposed for determining such numerical characteristics of a quantized random variable as the highest initial moments. The mathematical formalization of the problem of estimating the higher initial moments of a quantized random variable in the conditions of incomplete data represented by small samples of a quantized random variable is performed in the form of an optimization model of a certain integral of a piecewise continuous function satisfying certain conditions. The final estimates of the highest initial moments of the quantized random variable are found as extreme (lower and upper) estimates of a certain integral on a set of distribution functions with given moments equal to the sample moments of the quantized random variable. A model of the higher initial moments of a quantized random variable is presented in the form of a definite integral of a piecewise continuous function; in the general case, the problem of finding extreme (lower and upper) estimates of the higher initial moments of a quantized random variable on a set of distribution functions with given moments is solved. Examples of finding higher initial moments and optimal quantization of a random variable are given. The obtained results can be used by specialists in evaluating and optimizing the quantization of various information presented by random signals.

случайная величинавыборкаквантвероятностьмоментыфункция распределенияrandom variablesamplequantumprobabilitymomentsdistribution functionReferencesРожков Н.Ф. Методы преобразования сигналов и помехоустойчивое кодирование. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2003. 107 с.Rozhkov N.F. Signal Conversion Methods and Noise-Immunity Coding. Omsk, Omsk State Technical University Publ., 2003, 107 p. (in Russian)Орлов Ю.Н. Основы квантования вырожденных динамических систем. М.: МФТИ, 2004. 236 с.Orlov Iu.N. Basics of Quantization of Degenerate Dynamical Systems. Moscow, MIPT Publ., 2004, 236 p. (in Russian)Hering J.G. From slide rule to big data: how data science is changing water science and engineering // Journal of Environmental Engineering. 2019. V. 145. N 8. P. 02519001. https://doi.org/10.1061/(asce)ee.1943-7870.0001578Hering J.G. From slide rule to big data: how data science is changing water science and engineering. Journal of Environmental Engineering, 2019, vol. 145, no. 8, pp. 02519001. https://doi.org/10.1061/(asce)ee.1943-7870.0001578An T. Science opportunities and challenges associated with SKA big data // Science China Physics, Mechanics and Astronomy. 2019. V. 62. N 8. P. 989531. https://doi.org/10.1007/s11433-018-9360-хAn T. Science opportunities and challenges associated with SKA big data. Science China Physics, Mechanics and Astronomy, 2019, vol. 62, no. 8, pp. 989531. https://doi.org/10.1007/s11433-018-9360-хСаванов В.Л. Влияние квантования на точность вычисления моментов случайных величин // Автоматика и телемеханика. 1972. № 10. С. 74–81.Savanov V.L. Effect of quantization on random values moments calculation accuracy. Automation and Remote Control, 1972, vol. 3, no. 10, pp. 1626–1632.Грицутенко С.С., Степанова Е.А. Оптимальное квантование случайной величины // Техника радиосвязи. 2011. № 16. С. 55–59.Grizutenko S.S., Stepanova E.A. An optimum quantification of a random value. Tehnika radiosvjazi, 2011, no. 16, pp. 55–59. (in Russian)Зачатейский Е.Д., Лаврухин А.А. Анализ и моделирование оптимизационных алгоритмов квантования сигналов для информационных систем // Известия Транссиба. Информационные технологии, автоматика, связь, телекоммуникации. 2013. № 2(14). С. 84–90.Zachateyskiy E.D., Lavruhin A.A. Analysis and simulation of an optimization algorithm for signals quantization. Journal of Transsib Railway Studies, 2013, no. 2(14), pp. 84–90. (in Russian)Аверина Т.А. Модифицированный алгоритм статистического моделирования систем со случайным периодом квантования // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 4(62). С. 212–218.Averina T.A. Modified algorithm of statistical modeling of systems with a random quantization period. Vestnik Saratovskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta, 2011, vol. 4, no. 4(62), pp. 212–218. (in Russian)Андронов А.М., Бокоев Т.И. Оптимальное в смысле заполнения квантование информации // Известия АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. 1979. № 3. С. 154–158.Andronov A.M., Bokoev T.I. Optimal quantization of information in the sense of filling. Izvestija AN SSSR. Ser. Tehnicheskaja kibernetika, 1979, no. 3, pp. 154–158. (in Russian)Смагин В.А., Парамонов И.Ю. Модель оптимального вероятностного квантования информации в пространстве с гарантированным ограничением зон влияния объемных квантов // Известия вузов. Приборостроение. 2016. Т. 59. № 1. С. 32–37. https://doi.org/10.17586/0021-3454-2016-59-1-32-37Smagin V.A., Paramonov I.Yu. Model of optimal probabilistic quantization of information in the space with guaranteed restriction of volume quantum influence zone. Journal of Instrument Engineering, 2016, vol. 59, no. 1, pp. 32–37. (in Russian). https://doi.org/10.17586/0021-3454-2016-59-1-32-37Смагин В.А., Бубнов В.П. Математическая модель детерминированных и случайных процессов в виде последовательного гиперфрактального распределения // Автоматика на транспорте. 2019. Т. 5. № 2. С. 148–159. https://doi.org/10.20295/2412-9186-2019-5-2-145-159Smagin V.А., Bubnov V.P. Mathematical model of determinated and random processes in the form of consistent hyperfractal distribution. Transport automation research, 2019, vol. 5, no. 2, pp. 148–159. (in Russian). https://doi.org/10.20295/2412-9186-2019-5-2-145-159Смагин В.А., Бубнов В.П. Оптимальное в смысле заполнения квантование информации при наличии ошибок в квантах // Информация и космос. 2021. № 1. С. 40–48.Smagin V.A., Bubnov V.P. Optimum in sense of filling quantization of the information in the presence of errors in quanta. Information and Space, 2021, no. 1, pp. 40–48. (in Russian)Смагин В.А., Бубнов В.П., Султонов Ш.Х. Математические модели для расчета количественных характеристик оптимального квантования информации // Транспортные системы и технологии. 2021. Т. 7. № 1. С. 46–58. https://doi.org/10.17816/transsyst20217146-58Smagin V.A., Bubnov V.P., Sultonov S.K. Mathematical models for calculating the quantitative characteristics of the optimal quantization of information. Modern Transportation Systems and Technologies, 2021, vol. 7, no. 1, pp. 46–58. (in Russian). https://doi.org/10.17816/transsyst20217146-58Орлов А.И. Асимптотика квантования и выбор числа градаций в социологических анкетах // Математические методы и модели в социологии. М.: ИСИ АН СССР, 1977. С. 42–55.Orlov A.I. Asymptotics of quantization and the number of gradations choice in sociological questionnaires. Mathematical Methods and Models in Sociology, Moscow, Institute of Philosophy of the USSR Academy of Science, 1977, pp. 42–55. (in Russian)Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986. 432 с.Borovkov A.A. Probability Theory. Moscow, Nauka’ Publ., 1986, 432 p. (in Russian)Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. М.: Радио и связь, 1985. 312 с.Levin B.R., Shvartc V. Probabilistic Models and Methods in Communication and Control Systems. Moscow, Radio i svjaz’ Publ., 1985, 312 p. (in Russian)Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи: Идеи и проблемы П.Л. Чебышева и А.А. Маркова и их дальнейшее развитие. М.: Наука, 1973. 551 с.Krein M.G., Nudelman A.A. The Markov Moment Problem and Extremum Problems: Ideas and Problems of P.L. Chebyshev and A.A. Markov and their Further Development. Moscow, Nauka Publ., 1973, 551 p. (in Russian)Каштанов В.А. О минимаксных стратегиях при ограничениях на моменты распределений // Основные вопросы теории и практики надежности. М.: Советское радио, 1980. С. 143–154.Kashtanov V.A. On minimax strategies under restrictions on distribution moments. Basic Questions of the Reliability Theory and Practice, Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1980, pp. 143–154. (in Russian)Lomakin M., Buryi A., Dokukin A., Strekha А., Niyazova J., Balvanovich A. Estimation of quality indicators based on sequential measurements analysis // International Journal for Quality Research. 2020. V. 40. N 1. P. 147–162. https://doi.org/10.24874/ijqr14.01-10Lomakin M., Buryi A., Dokukin A., Strekha А., Niyazova J., Balvanovich A. Estimation of quality indicators based on sequential measurements analysis. International Journal for Quality Research, 2020, vol. 40, no. 1, pp. 147–162. https://doi.org/10.24874/ijqr14.01-10Ломакин М.И., Сухов А.В., Докукин А.В., Ниязова Ю.М. Оценка показателей надежности космических аппаратов в условиях неполных данных // Космические исследования. 2021. Т. 59. № 3. С. 235–239. https://doi.org/10.31857/S0023420621030080Lomakin M.I., Sukhov A.V., Dokukin A.V., Niyazova Y.M. Assessment of reliability indicators of space vehicles under conditions of incomplete data. Cosmic Research, 2021, vol. 59, no. 3, pp. 199– 203. https://doi.org/10.1134/S0010952521030072Buryi A.S., Lomakin M.I., Sukhov A.V. Quality assessment of “stressstrength” models in the conditions of big data // International Journal of Innovative Technology and Exploring Engineering. 2020. V. 9. N 3. P. 3276–3281. https://doi.org/10.35940/ijitee.c8982.019320Buryi A.S., Lomakin M.I., Sukhov A.V. Quality assessment of “stressstrength” models in the conditions of big data. International Journal of Innovative Technology and Exploring Engineering, 2020, vol. 9, no. 3, pp. 3276–3281. https://doi.org/10.35940/ijitee.c8982.019320Ломакин М.И., Ниязова Ю.М., Докукин А.В., Злыднев М.И., Гарин А.В. Оценка качества бизнес-процессов предприятия в условиях неполных данных // Сварочное производство. 2022. № 4. С. 52–58. https://doi.org/10.34641/SP.2022.1049.4.030Lomakin M.I., Niyazova YU.M., Dokukin A.V., Zlydnev M.I., Garin A.V. Evaluation of the quality of business processes of an enterprise in conditions of incomplete data. Svarochnoe proizvodstvo, 2022, no. 4, pp. 52–58. (in Russian). https://doi.org/10.34641/SP.2022.1049.4.030

The authors declare that there are no conflicts of interest present.