ntvНаучно-технический вестник информационных технологий, механики и оптикиScientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics2226-14942500-0373Университет ИТМО10.17586/2226-1494-2025-25-5-996-998ntv-529Research ArticleКРАТКИЕ СООБЩЕНИЯBRIEF PAPERSВычисление объема симплекса в барицентрических координатах в многомерном евклидовом пространствеCalculation of the volume of simplex in barycentric coordinates in a multidimensional Euclidean spacehttps://orcid.org/0009-0000-0856-9507СтепановаМ. А.StepanovaM. A.

Степанова Марина Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент

sc 8840198800

Санкт-Петербург, 191186

Marina A. Stepanova — PhD (Physics & Mathematics), Associate Professor, Associate Professor

sc 8840198800

Saint Petersburg, 191186

ratkebug@yandex.ruРоссийский государственный педагогический университет им. А. И. ГерценаРоссияHerzen UniversityRussian Federation202527102025255996998Copyright © Степанова М.А., 20252025Степанова М.А.Stepanova M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://ntv.elpub.ru/jour/article/view/529

Представлено описание трех способов вычисления k-мерного объема k-мерного симплекса в n-мерном евклидовом пространстве (n ≥ k) в канонической барицентрической системе координат. Первый способ основан на вычислении для n-мерного симплекса с помощью определителя барицентрической матрицы, столбцами которой являются барицентрические координаты вершин симплекса. Второй способ представляет вычисление объема для k-мерного симплекса с помощью определителя Кэли–Менгера через длины ребер симплекса, которые можно найти по барицентрическим координатам вершин. Третьим способом является вычисление с помощью определителя Грама для построенной по вершинам k-мерного симплекса системы векторов в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве.

The paper describes three ways of calculating the k-dimensional volume of the k-dimensional simplex in the n-dimensional Euclidean space (n ≥ k) in the canonical barycentric coordinate system. The first method is to calculate for the n-dimensional simplex using the determinant of the barycentric matrix, the columns of which are the barycentric coordinates of the simplex vertices. The second method is to calculate the volume for k-dimensional simplex using the Cayley–Menger determinant through the lengths of the simplex edges which can be found from the barycentric coordinates of the vertices. The third method is to compute using a Gram determinant for a system of vectors constructed from the vertices of a given simplex in a (n + 1)-dimensional Euclidean space.

барицентрическая система координатарицентрическая матрицабазисный симплексобъем симплексаbarycentric coordinate systembarycentric matrixbasic simplexsimplex volumeReferencesБарышников В.Д., Качальский В.Г., Лудцев К.Б. Определение неизвестных точечных свойств массива горных пород методом интерполяции с использованием барицентрических координат // Фундаментальные и прикладные вопросы горных наук. 2014. Т. 1. № 1. С. 51–55.Baryshnikov V.D., Kachalsky V.G., Ludtsev K.B. Point estimation of unknown properties of rock mass using interpolation and barycentric coordinates. Fundamental’nye i Prikladnye Voprosy Gornyh Nauk, 2014, vol. 1, no. 1, pp. 51–55. (in Russian)Кудрявченко И.В., Карлусов В.Ю. Измерение параметров движения мобильных объектов с «коллективным» поведением // Автоматизация и измерения в машино-приборостроении. 2018. № 3 (3). С. 92–99.Kudryavchenko I.V., Karlusov V.Yu. Measurement of mobile objects motion parameters with “collective” behavior. Automation and Measurement in Mechanical Engineering and Instrument Engineering, 2018, no. 3 (3), pp. 92–99. (in Russian)Никонов В.И. Относительные равновесия в задаче о движении треугольника и точки под действием сил взаимного притяжения // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2014. № 2. С. 45–51.Nikonov V.I. Relative equilibria in the motion of a triangle and a point under mutual attraction. Moscow University Mechanics Bulletin, 2014, vol. 69, no. 2, pp. 44–50. https://doi.org/10.3103/S0027133014020034Степанова М.А. Применение барицентрических комбинаций точек в теории выпуклых многогранников // Методика преподавания в современной школе: актуальные проблемы и инновационные решения: материалы II Российско-узбекской научно-практической конференции. СПб.: РГПУ им. А. И. Герцена, 2024. С. 263–268.Stepanova M.A. Barycentric point combinations and convex polyhedral. Proc. of the 2nd Russian-Uzbek Scientific and Practical Conference, 2024, pp. 263–268. (in Russian)Степанова МА., Малинникова К.С. Барицентрические матрицы и канонические барицентрические координаты в евклидовом пространстве // Современные проблемы математики и математического образования: Международная научная конференция «78 Герценовские чтения». СПб: Издательско-полиграфическая ассоциация высших учебных заведений, 2025. С. 360–364.Stepanova M.A., Malinnikova K.S. Barycentric matrices and canonical barycentric coordinates in euclidean space. Proc. of the Contemporary Problems of Mathematics and Mathematical Education, 2025, pp. 360–364. (in Russian)Понарин Я.П. Основные метрические задачи планиметрии в барицентрических координатах // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2002. № 4. С. 114–132.Ponarin Y.P. Basic metric problems of planimetry in barycentric coordinates. Mathematical Bulletin of Pedagogical Universities of the Volga-Vyatka Region, 2002, vol. 4, pp. 114-132. (in Russian)Понарин Я.П. Метод барицентрических координат в метрических задачах стереометрии // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2004. № 6. С. 189–200.Ponarin Y.P. The method of barycentric coordinates in metric problems of stereometry. Mathematical Bulletin of Pedagogical Universities of the Volga-Vyatka Region, 2004, no. 6, pp. 189–200. (in Russian)Ungar A.A. Barycentric Calculus in Euclidean and Hyperbolic Geometry a Comparative Introduction. North Dakota State University, 2010. 360 p. https://doi.org/10.1142/7740Ungar A.A. Barycentric Calculus in Euclidean and Hyperbolic Geometry a Comparative Introduction. North Dakota State University, 2010, 360 p. https://doi.org/10.1142/7740Берже М. Геометрия. Т. 1. М.: Мир, 1984. 560 с.Berger M. Géométrie. Action de Groupes, Espaces Affines et Projectifs. Cedic/Fernand Nathan, 1979, 200 p. (in French)Сабитов И.Х. Объем многогранника как функция длин его ребер // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2. № 4. С. 305–307.Sabitov Kh. The polyhedron’s volume as a function of length of its edges. Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 1996, vol. 2, no. 4, pp. 305–307. (in Russian)D’Andrea C., Sombra M. The Cayley-Menger determinant is irreducible for n ≥ 3 // Siberian Mathematical Journal. 2005. V. 46. N 1. P. 71–76. https://doi.org/10.1007/s11202-005-0007-0D’Andrea C., Sombra M. The Cayley-Menger determinant is irreducible for n ≥ 3. Siberian Mathematical Journal, 2005, vol. 46, no. 1, pp. 71–76. https://doi.org/10.1007/s11202-005-0007-0Fiedler M. Matrices and Graphs in Geometry. Cambridge University Press, 2011. 206 p.Fiedler M. Matrices and Graphs in Geometry. Cambridge University Press, 2011, 206 p.Sabitov I.K. The volume as a metric invariant of polyhedra // Discrete and Computational Geometry. 1998. V. 20. N 4. P. 405–425. https://doi.org/10.1007/PL00009393Sabitov I.K. The volume as a metric invariant of polyhedral. Discrete and Computational Geometry, 1998, vol. 20, no. 4, pp. 405–425. https://doi.org/10.1007/PL00009393Степанова М.А. Барицентрическая система координат барицентрическая группа // Современные проблемы математики и математического образования: сборник научных трудов международной научной конференции. СПб: РГПУ им. А.И. Герцена, 2024. С. 356–360.Stepanova M. Barycentric coordinate system barycentric group. Proc. of the 77th Herzen Readings, 2024, pp. 356–360. (in Russian)Степанова М.А. Геометрический смысл матрицы перехода от барицентрической системы координат к барицентрической системе координат // Актуальные аспекты развития науки и общества в эпоху цифровой трансформации: cборник материалов XX Международной научно-практической конференции. М.: АНО ДПО «Центр развития образования и науки», 2025. С. 428–433.Stepanova M. The geometric meaning of the transition matrix from barycentric coordinate system to barycentric coordinate system. Proc. of the 20th International Scientific and Practical Conference Current aspects of the development of science and society in the Era of Digital Transformation, 2025, 428–433. (in Russian)Buchholz R.H. Perfect Pyramids // Bulletin of the Australian Mathematical Society. 1991. V. 45. P. 353–368.Buchholz R.H. Perfect Pyramids. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 1991, vol. 45, pp. 353–368.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.