ntvНаучно-технический вестник информационных технологий, механики и оптикиScientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics2226-14942500-0373Университет ИТМО10.17586/2226-1494-2026-26-3-662-670ntv-633Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMODELING AND SIMULATIONАбстрактный принцип максимума и его применение в теории дифференциальных игрThe abstract maximum principle and its application in the differential games theoryhttps://orcid.org/0000-0003-0865-3578ВедяковА. А.VedyakovA. A.

Ведяков Алексей Алексеевич — кандидат технических наук, доцент

sc 49664023200

Санкт-Петербург, 197101

Alexey A. Vedyakov — PhD, Associate Professor

sc 49664023200

Saint Petersburg, 197101

vedyakov@itmo.ruhttps://orcid.org/0000-0001-7119-3629ВедяковаА. О.VedyakovaA. O.

Ведякова Анастасия Олеговна — кандидат физико-математических наук, доцент

sc 56405507900

Санкт-Петербург, 199034

Anastasia O. Vedyakova — PhD (Physics & Mathematics), Associate Professor

sc 56405507900

Saint Petersburg, 199034

o-slita@yandex.ruhttps://orcid.org/0000-0003-4671-7659СлитаО. В.SlitaO. V.

Слита Ольга Валерьевна — кандидат технических наук, доцент, научный сотрудник

sc 16242570700

Хайфа, 3200003

Olga V. Slita — PhD, Associate Professor, Scientific Researcher

sc 16242570700

Haifa, 3200003

o-slita@yandex.ruhttps://orcid.org/0000-0003-4671-7659Тертычный-ДауриВ. Ю.Tertychny-DauriV. Yu.

Тертычный-Даури Владимир Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор

sc 8980267000

Санкт-Петербург, 197101

Vladimir Yu. Tertychny-Dauri — D.Sc. (Physics & Mathematics), Full Professor

sc 8980267000

Saint Petersburg, 197101

tertychny-dauri@mail.ruУниверситет ИТМОРоссияITMO UniversityRussian FederationСанкт-Петербургский государственный университетРоссияSt. Petersburg State University (SPbSU)Russian FederationТехнион — Израильский технологический институтИзраильTechnion, Israel Institute of TechnologyIsrael202609072026263662670Copyright © Ведяков А.А., Ведякова А.О., Слита О.В., Тертычный-Даури В.Ю., 20262026Ведяков А.А., Ведякова А.О., Слита О.В., Тертычный-Даури В.Ю.Vedyakov A.A., Vedyakova A.O., Slita O.V., Tertychny-Dauri V.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://ntv.elpub.ru/jour/article/view/633

Введение. Решается задача оптимального управления со стороны двух противоборствующих игроков, где оптимальность управления понимается в минимаксном смысле получения наилучшего гарантированного результата, а управление строится с расчетом на наихудший случай, допускаемый данными измерений. Метод. Используется схема сведения задачи теории дифференциальных игр к синтезу оптимального управления посредством абстрактного принципа максимума с применением аппарата соответствующих множителей Лагранжа. Основные результаты. Представлена процедура сведения абстрактного принципа максимума применительно к максиминной задаче теории дифференциальных игр для беллмановской интерпретации в терминах динамического программирования. Показано, как из абстрактного принципа следует выполнение основных положений оптимизационного метода Беллмана в случае исследуемой задачи дифференциальных игр. Обсуждение. Разработанная методика поиска условий оптимальности в антагонистической теории дифференциальных игр с помощью привлечения математического аппарата абстрактного принципа максимума может быть использована при расчете и проектировании нелинейных управляемых динамических систем с внутренними противоположными интересами.

The problem of optimal control involving two opposing players is considered where optimality is understood in the minimax sense of achieving the best guaranteed outcome, and the control strategy is constructed with respect to the worst case admissible under the available measurements. The differential game problem is reduced to an optimal control synthesis problem by means of an abstract maximum principle using the method of Lagrange multipliers. A procedure is presented for applying the abstract maximum principle to the maximin formulation of the differential game problem within the Bellman framework in terms of dynamic programming. It is shown how the abstract maximum principle leads to the fundamental relations of Bellman’s optimization method for the differential game under consideration. The developed methodology for deriving optimality conditions in an antagonistic differential game using the abstract maximum principle can be applied to the analysis and design of nonlinear controlled dynamical systems with internally conflicting objectives.

динамическая системафункционал качествамножители Лагранжаабстрактный принцип максимумадифференциальная играоптимальная стратегияdynamic systemfunctional propertiesLagrange multipliersmaximum principledifferential gameoptimal strategyReferencesСубботин А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр // Доклады Академии наук СССР. 1980. Т. 254. № 2. C. 293–297.Subbotin A.I. Generalization of the fundamental equation of the differential game theory. Transactions (Doklady) of the USSR Academy of Sciences, 1980, vol. 254, no. 2, pp. 293–297. (in Russian)Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991. 214 c.Subbotin A.I. Minimax Inequations and Hamilton-Jacobi Equations. Moscow, Nauka Publ., 1991, 214 p. (in Russian)Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 c.Isaacs R. Differential Games: a Mathematical Theory with Applications to Warfare and Pursuit, Control and Optimization. Wiley, 1965, 384 p.Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 c.Krasovsky N.N., Subbotin A.I. Positional Differential Games. Moscow, Nauka Publ., 1974, 456 p. (in Russian)Berkovitz L.D. Characterizations of the values of differential games // Applied Mathematics and Optimization. 1988. V. 17. N 2. P. 177–183. doi: 10.1007/BF01448365Berkovitz L.D. Characterizations of the values of differential games. Applied Mathematics and Optimization, 1988, vol. 17, no. 2, pp. 177-183. doi: 10.1007/BF01448365Evans L.C., Souganidis P.E. Differential games and representation formulas for solutions of Hamilton-Jacobi-Isaacs equations // Indiana University Mathematics Journal. 1984. V. 33. N 5. P. 773–797. doi: 10.1512/iumj.1984.33.33040Evans L.C., Souganidis P.E. Differential games and representation formulas for solutions of Hamilton-Jacobi-Isaacs equations. Indiana University Mathematics Journal, 1984, vol. 33, no. 5, pp. 773–797. doi: 10.1512/iumj.1984.33.33040Никитин Ф.Ф., Чистяков С.В. Теорема существования и единственности решения обобщенного уравнения Айзекса-Беллмана // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. № 6. C. 743-752.Nikitin F.F., Chistyakov S.V. Existence and uniqueness theorem for a generalized Isaacs-Bellman equations. Differential Equations, 2007, vol. 43, no. 6, pp. 757–766. doi: 10.1134/s0012266107060031Игровые задачи управления // Труды Института математики и механики УНЦ АН СССР. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1977. № 24.Game control problems. Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, 1977, no. 24. (in Russian)Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальные системы управления: обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи. СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2003. 537 с.Matveev A.S., Yakubovich V.A. Optimal Control Systems: Ordinary Differential Equations. Special Problems. St. Petersburg, SPbU Publ., 2003, 537 p. (in Russian)Тертычный-Даури В.Ю. Полимех. Т. 2. Механические эссе. М.: Физматлит, 2021. 584 c.Tertychnyi-Dauri V.Y. Polymech. Mechanical Essays. Moscow, Fizmatlit Publ., 2021, 584 p. (in Russian)Тертычный-Даури В.Ю. Интегральные и интегродифференциальные объекты управления: условия оптимальности // Автоматика и телемеханика. 2009. № 10. C. 45–74.Tertychnyi-Dauri V.Y. Integral and integro-differential control plants: Optimality conditions. Automation and Remote Control, 2009, vol. 70, no. 10, pp. 1635–1661. doi: 10.1134/s0005117909100051Бабушкин М.В., Тертычный-Даури В.Ю. Вариационные методы решения задач, связанных с искусственным интеллектом // Дифференциальные уравнения. 2023. Т. 59. № 7. C. 919–932. doi: 10.31857/S0374064123070063Babushkin M.V., Tertychny-Dauri V.Yu. Variational methods for solving problems associated with artificial intelligence. Differential Equations, 2023, vol. 59, no. 7, pp. 919–932. doi: 10.1134/S0012266123070066Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 741 с.Kantorovich L.V., Akilov G.P. Functional Analysis. Moscow, Nauka Publ., 1977, 741 p. (in Russian)Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. 383 c.Germeier Yu.B. Introduction to Operations Research Theory. Moscow, Nauka Publ., 1971, 383 p. (in Russian)Богатырев А.В. Управляемые системы и обобщенные уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. C. 40–48.Bogatyrev A.V. Control systems and generalized Hamilton–JacobiBellman equations. Automation and Remote Control, 1992, vol. 53, no. 9, pp. 1335–1343.Vinter R.B., Wolenski P. Hamilton-Jacobi theory for optimal control problems with data measurable in time // SIAM Journal on Control and Optimization. 1990. V. 28. N 6. P. 1404–1419. doi: 10.1137/0328073Vinter R.B., Wolenski P. Hamilton-Jacobi theory for optimal control problems with data measurable in time. SIAM Journal on Control and Optimization, 1990, vol. 28, no. 6, pp. 1404–1419. doi: 10.1137/0328073

The authors declare that there are no conflicts of interest present.