ntvНаучно-технический вестник информационных технологий, механики и оптикиScientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics2226-14942500-0373Университет ИТМО10.17586/2226-1494-2024-24-2-276-283ntv-98Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕMODELING AND SIMULATIONУстойчивость высокоупругой прямоугольной пластинки с защемленно-свободными краями при одноосном сжатииStability of a highly elastic rectangular plate with clamped-free edges under uniaxial compressionhttps://orcid.org/0000-0002-8295-7089СухотеринМ. В,SukhoterinM. V.

Сухотерин Михаил Васильевич — доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой 

 Санкт-Петербург, 198035 

 sc 16496923700 

Mikhail V. Sukhoterin — D.Sc., Associate Professor, Head of Department

 Saint Petersburg, 198035 

 sc 16496923700 

sukhoterinmv@gumrf.ruhttps://orcid.org/0009-0000-6476-6783СосновскаяА. А.SosnovskayaA. A.

Сосновская Анна Анатольевна — старший преподаватель 

 Санкт-Петербург, 198035 

 Anna A. Sosnovskaya — Senior Lecturer 

 Saint Petersburg, 198035 

sosnovskayaaa@gumrf.ruГосударственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. МакароваРоссияAdmiral Makarov State University of Maritime and Inland ShippingRussian Federation202412122024242276283Copyright © Сухотерин М.В., Сосновская А.А., 20242024Сухотерин М.В., Сосновская А.А.Sukhoterin M.V., Sosnovskaya A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://ntv.elpub.ru/jour/article/view/98

Введение. Изучены симметричные формы потери устойчивости прямоугольной пластинки Кирхгоффа с двумя защемленными и двумя свободными параллельными гранями под действием распределенной сжимающей нагрузки, приложенной к защемленным граням. Метод. Функция прогибов пластинки при потере устойчивости представлена двумя гиперболо-тригонометрическими рядами с неопределенными коэффициентами, которые получены при точном удовлетворении всех условий краевой задачи. Проблема поиска сведена к решению однородной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно одной последовательности неопределенных коэффициентов, которая в качестве параметра содержит искомую критическую нагрузку. Для получения нетривиальных решений определитель системы должен быть равен нулю. Эта задача на собственные значения имеет бесчисленное множество решений. Hетривиальные решения системы предложено находить методом последовательных приближений с перебором параметра нагрузки. Основные результаты. С помощью компьютерных вычислений найдены первые четыре критические нагрузки (включая эйлерову), приложенные к защемленным параллельным граням квадратной пластинки и дающие симметричные формы потери устойчивости. Исследовано влияние количества членов, удерживаемых в рядах, и числа итераций на точность вычислений. Представлены 3D-изображения найденных форм потери устойчивости. Приведено сравнение с известными решениями. Обсуждение. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании различных плоских прямоугольных элементов в микроэлектронике и нанотехнике.

The symmetrical buckling modes of a rectangular Kirchhoff plate with two clamped and two free parallel faces (CFCF-plate) under the action of a distributed compressive load applied to the clamped faces have been studied. The function of plate deflections due to loss of stability is represented by two hyperbolic-trigonometric series with indefinite coefficients which are found when all conditions of the boundary value problem are exactly satisfied. The problem is reduced to solving a homogeneous infinite system of linear algebraic equations with respect to one sequence of uncertain coefficients which contain the desired critical load as a parameter. To obtain nontrivial solutions, the determinant of the system must be equal to zero. This eigenvalue problem has countless solutions. It is proposed to find non-trivial solutions of the system using the method of successive approximations with enumeration of the load parameter. Using computer calculations, the first four critical loads (including the Euler load) were found applied to the clamped parallel faces of a square plate and giving symmetrical forms of buckling. The influence on the accuracy of calculations of the number of terms retained in the series and the number of iterations is studied. 3D images of the found buckling modes are presented. A comparison with known solutions is provided. The results obtained can be used in the design of various flat rectangular elements in microelectronics and nanotechnology.

прямоугольная пластинкадве параллельные стороны защемленыдве стороны свободныекритические нагрузкигиперболо-тригонометрические рядыrectangular plateCFCF-platecritical loadshyperbolic-trigonometric seriesReferencesKshirsagar S., Bhaskar K. Accurate and elegant free vibration and buckling studies of orthotropic rectangular plates using untruncated infinite series // Journal of Sound and Vibration. 2008. V. 314. N 3-5. P. 837–850. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2008.01.013Kshirsagar S., Bhaskar K. Accurate and elegant free vibration and buckling studies of orthotropic rectangular plates using untruncated infinite series // Journal of Sound and Vibration. 2008. V. 314. N 3-5. P. 837–850. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2008.01.013Civalek Ö. Application of differential quadrature (DQ) and harmonic differential quadrature (HDQ) for buckling analysis of thin isotropic plates and elastic columns // Engineering Structures. 2004. V. 26. N 2. P. 171–186. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2003.09.005Civalek Ö. Application of differential quadrature (DQ) and harmonic differential quadrature (HDQ) for buckling analysis of thin isotropic plates and elastic columns // Engineering Structures. 2004. V. 26. N 2. P. 171–186. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2003.09.005Lee S.J. Buckling analysis of rectangular plates using an enhanced 9-node element // Architectural Research. 2016. V. 18. N 3. P. 113– 120. https://doi.org/10.5659/AIKAR.2016.18.3.113Lee S.J. Buckling analysis of rectangular plates using an enhanced 9-node element // Architectural Research. 2016. V. 18. N 3. P. 113– 120. https://doi.org/10.5659/AIKAR.2016.18.3.113Ebrahimi F., Barati M.R. Buckling analysis of piezoelectrically actuated smart nanoscale plates subjected to magnetic field // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2017. V. 28. N 11. P. 1472–1490. https://doi.org/10.1177/1045389x16672569Ebrahimi F., Barati M.R. Buckling analysis of piezoelectrically actuated smart nanoscale plates subjected to magnetic field // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2017. V. 28. N 11. P. 1472–1490. https://doi.org/10.1177/1045389x16672569Wang Z., Xing Y., Sun Q., Yang Y. Highly accurate closed-form solutions for free vibration and eigenbuckling of rectangular nanoplates // Сomposite Structures. 2019. V. 210. P. 822–830. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2018.11.094Wang Z., Xing Y., Sun Q., Yang Y. Highly accurate closed-form solutions for free vibration and eigenbuckling of rectangular nanoplates // Сomposite Structures. 2019. V. 210. P. 822–830. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2018.11.094Tyukalov Yu.Ya. Method of plates stability analysis based on the moments approximations // Magazine of Civil Engineering. 2020. Т. 95. № 3. С. 90–103. https://doi.org/10.18720/MCE.95.9Tyukalov Yu.Ya. Method of plates stability analysis based on the moments approximations // Magazine of Civil Engineering. 2020. Т. 95. № 3. С. 90–103. https://doi.org/10.18720/MCE.95.9Tenenbaum J., Eisenberger M. Analytical solutions for plate buckling from static analysis approach // Analysis and Design of Plated Structures. Elsevier, 2022. P. 1–31. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-823570-6.00009-4Tenenbaum J., Eisenberger M. Analytical solutions for plate buckling from static analysis approach // Analysis and Design of Plated Structures. Elsevier, 2022. P. 1–31. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-823570-6.00009-4Analooei H.R., Azhari M., Heidarpour A. Elastic buckling and vibration analyses of orthotropic nanoplates using nonlocal continuum mechanics and spline finite strip method // Applied Mathematical Modelling. 2013. V. 37. N 10-11. P. 6703–6717. https://doi.org/10.1016/j.apm.2013.01.051Analooei H.R., Azhari M., Heidarpour A. Elastic buckling and vibration analyses of orthotropic nanoplates using nonlocal continuum mechanics and spline finite strip method // Applied Mathematical Modelling. 2013. V. 37. N 10-11. P. 6703–6717. https://doi.org/10.1016/j.apm.2013.01.051Анненков Л.В. Исследование устойчивости защемленной прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении // Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова. 2015. № 3(31). С. 48–53. https://doi.org/10.21821/2309-5180-2015-7-3-48-53Annenkov L.V. Explore of stability of clamped rectangular plate, compressed in one direction. Vestnik Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova, 2015, no. 3(31), pp. 48–53. (in Russian). https://doi.org/10.21821/2309-5180-2015-7-3-48-53Wang B., Li P., Li R. Symplectic superposition method for new analytic buckling solutions of rectangular thin plates // International Journal of Mechanical Sciences. 2016. V. 119. P. 432–441. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2016.11.006Wang B., Li P., Li R. Symplectic superposition method for new analytic buckling solutions of rectangular thin plates. International Journal of Mechanical Sciences, 2016, vol. 119, pp. 432–441. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2016.11.006Onwuka D.O., Iwuoha S.E. Elastic instability analysis of biaxially compressed flat rectangular isotropic all-round clamped (CCCC) plates // MedCrave Online Journal of Civil Engineering. 2017. V. 2. N 2. P. 52‒56. https://doi.org/10.15406/mojce.2017.02.00027Onwuka D.O., Iwuoha S.E. Elastic instability analysis of biaxially compressed flat rectangular isotropic all-round clamped (CCCC) plates. MedCrave Online Journal of Civil Engineering, 2017, vol. 2, no. 2, pp. 52‒56. https://doi.org/10.15406/mojce.2017.02.00027Wang W., Rong D., Xu C., Zhang J., Xu X., Zhou Z. Accurate buckling analysis of magnetically affected cantilever nanoplates subjected to in‑plane magnetic fields // Journal of Vibration Engineering & Technologies. 2020. V. 8. N 4. P. 505–515. https://doi.org/10.1007/s42417-019-00106-3Wang W., Rong D., Xu C., Zhang J., Xu X., Zhou Z. Accurate buckling analysis of magnetically affected cantilever nanoplates subjected to in‑plane magnetic fields. Journal of Vibration Engineering & Technologies, 2020, vol. 8, no. 4, pp. 505–515. https://doi.org/10.1007/s42417-019-00106-3Сухотерин М.В., Кныш Т.П., Пастушок Е.М., Абдикаримов Р.А. Устойчивость упругой ортотропной консольной пластинки // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математи­ческие науки. 2021. Т. 14. № 2. С. 38–52. https://doi.org/10.18721/JPM.14204Sukhoterin M.V., Knysh T.P., Pastushok E.M., Abdikarimov R.A. Stability of an elastic orthotropic cantilever plate. St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics, 2021, vol. 14, no. 2, pp. 38–52. (in Russian). htttp://doi.org/10.18721/ JPM.14204Sukhoterin M., Baryshnikov S., Knysh T., Rasputina E. Stability of rectangular cantilever plates with high elasticity // E3S Web of Conferences. 2021. V. 244. P. 04004. https://doi.org/10.1051/e3sconf/202124404004Sukhoterin M., Baryshnikov S., Knysh T., Rasputina E. Stability of rectangular cantilever plates with high elasticity. E3S Web of Conferences, 2021, vol. 244, pp. 04004. https://doi.org/10.1051/e3sconf/202124404004Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Изд-во «Будiвельник», 1973. 488 с.Weinberg D.V. Handbook of strength, stability and vibrations of plates. Kiev, Budivelnik Publ., 1973, 488 p. (in Russian)Сухотерин М.В., Распутина Е.И., Пижурина Н.Ф. Смешанные формы свободных колебаний прямоугольной CFCF-пластины // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2023. Т. 23. № 2. C. 413–421. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2023-23-2-413-421Sukhoterin M.V., Rasputina E.I., Pizhurina N.F. Mixed forms of free oscillations of a rectangular CFCF-plate. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2023, vol. 23, no. 2, pp. 413–421 (in Russian). https://doi.org/10.17586/2226-1494-2023-23-2-413-421Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Гос. изд-во физ.-матем. литературы, 1963. 635 с.Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill, 1959, 580 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.