Применение метода решеточных уравнений Больцмана для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости

Введение. Рассмотрены возможности моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости при помощи метода решеточных уравнений Больцмана (Lattice Boltzmann Method, LBM). В отличие от классического макроскопического подхода, основанного на решении уравнений Навье–Стокса, в методе решеточных уравнений Больцмана используется мезоскопическая модель для моделирования течений жидкости. Макроскопические параметры жидкости, такие как плотность и скорость, выражаются через моменты дискретной функции распределения. Метод. Дискретизация решеточного уравнения Больцмана осуществляется при помощи схем D2Q9 (двумерный случай) и D3Q19 (трехмерный случай). Для моделирования столкновений между псевдочастицами применяется приближение Бхатнагара–Гросса–Крука с одним временем релаксации. Обсуждаются особенности постановки начальных и граничных условий на различных границах расчетной области. Основные результаты. Развиваются представления о закономерностях формирования вихревых течений в квадратной каверне, а также пространственных струйных потоков внутри крупномасштабных вихревых структур в пределах замкнутого пространства кубической каверны. Выполнено сравнение результатов расчетов характеристик течения в квадратной и кубической каверне при различных числах Рейнольдса с данными, имеющимися в литературе и полученными на основе метода конечных объемов. Исследована зависимость численного решения, а также положения критических точек на стенках кубической каверны от размера сетки. Выполнено сравнение времени счета со скоростью вычислений в методе конечных разностей и методе конечных объемов. Обсуждение. Разработанная реализация метода решеточных уравнений Больцмана представляет интерес для перехода к последующему моделированию неизотермических и высокоскоростных течений.

1. Kruger T., Kusumaatmaja H., Kuzmin A., Shardt O., Silva G., Viggen E.M. The lattice Boltzmann method: Principles and Practice. Springer, 2017. 694 p.

2. Rivet J.P., Boon J.P. Lattice Gas Hydrodynamics. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. 289 p.

3. Succi S. The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond. Oxford, Clarendon Press, 2001. 288 p.

4. Чащин Г.С. Метод решёточных уравнений Больцмана: моделирование изотермических низкоскоростных течений // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. 2021. № 99. 31 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2021-99

5. Захаров А.М., Сенин Д.С., Грачев Е.А. Моделирование течений методом решеточных уравнений Больцмана со многими временами релаксации // Вычислительные методы и программирование. 2014. Т. 15. № 1. С. 644–657.

6. Rahmati A.R., Ashrafizaadeh M. A generalized Lattice Boltzmann Method for three-dimensional incompressible fluid flow simulation // Journal of Applied Fluid Mechanics. 2009. V. 2. N 1. P. 71–96. https://doi.org/10.36884/jafm.2.01.11858

7. Anupindi K., Lai W., Frankel S. Characterization of oscillatory instability in lid driven cavity flows using lattice Boltzmann method // Computers and Fluids. 2014. V. 20. N 92. P. 7–21. https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2013.12.015

8. Aslan E., Taymaz I., Benim A.C. Investigation of the Lattice Boltzmann SRT and MRT stability for lid driven cavity flow // International Journal of Materials, Mechanics and Manufacturing. 2014. V. 2. P. 317–324. https://doi.org/10.7763/ijmmm.2014.v2.149

9. Yuana K.A., Budiana E.P., Deendarlianto, Indarto. Modeling and simulation of top and bottom lid driven cavity using Lattice Boltzmann Method // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2019. V. 546. N 5. P. 052088. https://doi.org/10.1088/1757-899x/546/5/052088

10. Huang T., Lim H.-C. Simulation of lid-driven cavity flow with internal circular obstacles // Applied Sciences. 2020. V. 10. N 13. P. 4583. https://doi.org/10.3390/app10134583

11. Yang J.-Y., Hung L.-H. A three-dimensional semiclassical Lattice Boltzmann Method for lid-driven cubic cavity flows // Journal of Fluid Science and Technology. 2011. V. 6. N 5. P. 780–791. https://doi.org/10.1299/jfst.6.780

12. Belardinelli D., Sbragaglia M., Biferale L., Gross M., Varnik F. Fluctuating multicomponent lattice Boltzmann model // Physical Review E. 2015. V. 91. N 2. P. 023313. https://doi.org/10.1103/physreve.91.023313

13. Nourgaliev R.R., Dinh T.N., Theofanous T.G., Joseph D. The lattice Boltzmann equation method: theoretical interpretation, numerics and implications // International Journal of Multiphase Flow. 2003. V. 29. N 1. P. 117–169. https://doi.org/10.1016/s0301-9322(02)00108-8

14. Asinari P., Ohwada T. Connection between kinetic methods for fluiddynamic equations and macroscopic finite-difference schemes // Computers and Mathematics with Applications. 2009. V. 58. N 5. P. 841–861. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2009.02.009

15. Mattila K., Hyväluoma J., Timonen J., Rossi T. Comparison of implementations of the lattice-Boltzmann method // Computers and Mathematics with Applications. 2008. V. 55. N 7. P. 1514–1524. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2007.08.001

16. Szalmás L. Multiple-relaxation time lattice Boltzmann method for the finite Knudsen number region // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2007. V. 379. N 2. P. 401–408. https://doi. org/10.1016/j.physa.2007.01.013

17. Tsutahara M., Kataoka T., Shikata K., Takada N. New model and scheme for compressible fluids of the finite difference lattice Boltzmann method and direct simulations of aerodynamic sound // Computers and Fluids. 2008. V. 37. N 1. P. 79–89. https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2005.12.002

18. Yu H., Zhao K. Lattice Boltzmann method for compressible flows with high Mach numbers // Physics Review E. 2000. V. 61. N 4. P. 3867–3870. https://doi.org/10.1103/physreve.61.3867

19. Kataoka T., Tsutahara M. Lattice Boltzmann model for the compressible Navier–Stokes equations with flexible specific-heat ratio // Physics Review E. 2004. V. 69. N 3. Part. 2. P. 035701. https://doi.org/10.1103/physreve.69.035701

20. Sun C., Hsu A. Multi-level lattice Boltzmann model on square lattice for compressible flows // Computers and Fluids. 2004. V. 33. N 10. P. 1363–1385. https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2003.12.001

21. He B., Chen Y., Feng W., Li Q., Song A., Wang Y., Zhang M., Zhang W. Compressible lattice Boltzmann method and applications // International Journal of Numerical Analysis and Modeling. 2012. V. 9. N 2. P. 410–418.

22. Li K., Zhong C. A lattice Boltzmann model for simulation of compressible flows // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2015. V. 77. N 6. P. 334–357. https://doi.org/10.1002/fld.3984

23. Chikatamarla S., Karlin I. Lattices for the lattice Boltzmann method // Physics Review E. 2009. V. 79. N 4. P. 046701. https://doi.org/10.1103/physreve.79.046701

24. Ильин О.В. Метод моделирования динамики разреженного газа на основе решеточных уравнений Больцмана и уравнения БГК // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2018. Т. 58. № 11. С. 1889–1899. https://doi.org/10.31857/S004446690003540-5

25. Ataei M., Shaayegan V., Costa F., Han S., Park C.B., Bussmann M. LBfoam: an open-source software package for the simulation of foaming using the lattice Boltzmann method // Computer Physics Communications. 2021. V. 259. P. 107698. https://doi.org/10.1016/j.cpc.2020.107698

26. Latt J., Malaspinas O., Kontaxakis D., Parmigiani A., Lagrava D., Brogi F., Belgacem M.B., Thorimbert Y., Leclaire S., Li S., Marson F., Lemus J., Kotsalos C., Conradin R., Coreixas C., Petkantchin R., Raynaud F., Beny J., Chopard B. Palabos: parallel lattice Boltzmann solver // Computers and Mathematics with Applications. 2021. V. 81. P. 334–350. ttps://doi.org/10.1016/j.camwa.2020.03.022

27. Управление обтеканием тел с вихревыми ячейками в приложении к летательным аппаратам интегральной компоновки (численное и физическое моделирование) / под ред. А.В. Ермишина и С.А. Исаева. М.: Изд-во МГУ, 2001. 360 с.

28. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Вычислительные технологии в задачах механики жидкости и газа. М.: Физматлит, 2012. 468 с.

29. Ghia U., Ghia K.N., Shin C.T. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier–Stokes equations and a multigrid method // Journal of Computational Physics. 1982. V. 48. N 3. P. 387–411. https://doi.org/10.1016/0021-9991(82)90058-4

30. Schreiber R., Keller H.B. Driven cavity flows by efficient numerical techniques // Journal of Computational Physics. 1983. V. 49. N 2. P. 310–333. https://doi.org/10.1016/0021-9991(83)90129-8

31. Vanka S.P. Block-implicit multigrid solution of Navier–Stokes equations in primitive variables // Journal of Computational Physics. 1986. V. 65. N 1. P. 138–158. https://doi.org/10.1016/0021-9991(86)90008-2

32. Hou S., Zou Q., Chen S., Doolen G., Cogley A. Simulation of cavity flow by the lattice Boltzmann method // Journal of Computational Physics. 1995. V. 118. N 2. P. 329–347. https://doi.org/10.1006/jcph.1995.1103

33. Gupta M.M., Kalita J.C. A new paradigm for solving Navier–Stokes equations: streamfunction–velocity formulation // Journal of Computational Physics. 2005. V. 207. N 1. P. 52–68. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.01.002

34. Pandit S.K. On the use of compact streamfunction-velocity formulation of steady Navier–Stokes equations on geometries beyond rectangular // Journal of Science and Computers. 2008. V. 36. N 2. P. 219–242. https://doi.org/10.1007/s10915-008-9186-8

35. Lin L.S., Chen Y.C., Lin C.A. Multi relaxation time lattice Boltzmann simulations of deep lid driven cavity flows at different aspect ratios // Computers and Fluids. 2011. V. 45. N 1. P. 233–240. https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2010.12.012

36. Mishra N., Sanyasiraju Y.V.S.S. Exponential compact higher order scheme for steady incompressible Navier–Stokes equations // Engineering Applications of Computational Fluid Mechanics. 2012. V. 6. N 4. P. 541–555. https://doi.org/10.1080/19942060.2012.11015 441

37. Bruneau C.-H., Jouron C. An efficient scheme for solving steady incompressible Navier–Stokes equations // Journal of Computational Physics. 1990. V. 89. N 2. P. 389–413. https://doi.org/10.1016/0021-9991(90)90149-u

38. Botella O., Peyret R. Benchmark spectral results on the lid-driven cavity flow // Computers and Fluids. 1998. V. 27. N 4. P. 421–433. https://doi.org/10.1016/s0045-7930(98)00002-4

39. Babu V., Korpela S.A. Numerical solution of the incompressible three-dimensional Navier–Stokes equations // Computers and Fluids. 1994. V. 23. N 5. P. 675–691. https://doi.org/10.1016/0045-7930(94)90009-4

40. Sheu T.W.H., Tsai S.F. Flow topology in a steady three-dimensional lid-driven cavity // Computers and Fluids. 2002. V. 31. N 8. P. 911– 934. https://doi.org/10.1016/s0045-7930(01)00083-4

41. Волков К.Н. Топология течения вязкой несжимаемой жидкости в кубической каверне с подвижной крышкой // Инженернофизический журнал. 2006. Т. 79. № 2. С. 86–91.