Метод разбиения единицы и гладкая аппроксимация

Введение. Представлен новый метод гладкой кусочно-полиномиальной аналитической аппроксимации экспериментальных данных любой размерности и степени изменчивости. Альтернативой данному методу являются кубические и бикубические сплайны, которые имеют свои достоинства и недостатки. Исследования, направленные на создание более гибких методов гладкой аппроксимации больших данных, активно ведутся учеными, но подобного аналога, представленного в настоящей работе, автором не найдено, в том числе и для многомерных зависимостей. Метод. Экспериментальные данные часто зависят от многих переменных, которые для задач компрессии, прогноза и передачи данных локально могут быть аппроксимированы простыми аналитическими функциями. Они могут быть локальными полиномами как на интервалах в одномерном случае, так и на полигонах в многомерных случаях. Представленный в работе метод гладкого согласования локальных функций между собой может быть расширен с одномерной кусочно-полиномиальной аппроксимации на более высокие размерности, что имеет множество научных и практических применений. В данном случае можно сохранять и передавать коэффициенты локальных полиномов или других локальных функций вместо того, чтобы использовать исходные данные, часто имеющие чрезмерно большой объем. В описываемом методе использовано клеточное разбиение области интереса и на этих клетках определены локальные функции — полиномы низких степеней или другие параметрические функции. В местах соединения клеток задаются переходные зоны, в которых локальные функции согласуются друг с другом, образуя достаточно гладкий переход между ними. Количество локальных функций в точке совпадает с ее индексом топологического покрытия. Результатом является единая, дважды дифференцируемая аналитическая функция. Для гладкого согласования локальных функций используются базовые функции, основанные на специальных полиномах второй или третьей степени. Значения этих функций плавно уменьшаются от единицы до нуля. Значения производной базовой функции на обоих концах интервала равны нулю. Согласование представлено гомотопическим преобразованием, отображающим единичный интервал в пространство функций. Для одномерной зависимости эффективность метода представлена примером согласования набора локально заданных парабол. Метод расширен на двумерный случай путем применения известного в математике приема клеточного разбиения компакта с покрытием его топологическими картами. Вычислительный эксперимент показал, что и в этом случае локальные функции согласуются на всем компакте, образуя единую дважды дифференцируемую функцию. Основные результаты. Результатом исследования является разработка нового метода гладкого согласования локальных параметрических функций, осуществляющих аппроксимацию экспериментальных данных на интервале произвольного размера. Представленный метод основан на топологическом разбиении единицы и согласовании двумерных локальных функций, осуществляющих аппроксимацию на двумерном компакте. Выполнено теоретическое обоснование возможности расширения метода согласования на произвольные размерности компакта, на клетках которого заданы локальные полиномиальные и другие аппроксимирующие функции. Обсуждение. Решена задача разработки и частичного обоснования концепта создания полезного инструмента для хранения и передачи экспериментальных информационных данных.

1. Shapiai M.I., Ibrahim Z., Khalid M., Jau L.W., Pavlovic V., Watada J. Function and surface approximation based on enhanced kernel regression for small sample sets // International Journal of Innovative Computing, Information and Control. 2011. V. 7. N 10. P. 5947–5960.

2. Méhauté A.L., Rabut Ch., Schumaker L.L. Surface Fitting and Multiresolution Methods. V. II. Vanderbilt University Press, 1997. 354 p.

3. Friedman B. Principles and Techniques of Applied Mathematics. NY: Dover Publications Inc., 1990. 315 p.

4. Lancaster P., Šalkauskas K. Curve and Surface Fitting. An Introduction. London, Orlando: Academic Press, 1986. 280 p.

5. Wavelets, Images, and Surface Fitting / ed by P.-J. Laurent, A.L. Méhauté, L. Schumaker. CRC Press, 1994. 544 p.

6. Myers R.H., Montgomery D.C., Anderson-Cook Ch.M. Response Surface Methodology: Process and Product Optimization Using Designed Experiments / 4th ed. Wiley, 2016. 856 p.

7. Havil J. Curves for the Mathematically Curious: An Anthology of the Unpredictable, Historical, Beautiful, and Romantic. Princeton University Press, 2019. 280 p.

8. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 2001. 604 с.

9. Lawson J. Partitions of Unity and Smooth Functions [Электронный ресурс]. URL:https://www.math.lsu.edu/~lawson/Chapter4.pdf. (дата обращения: 15.02.2024).

10. Grangé P., Mathiot J.-F., Werner E. Taylor-lagrange renormalization scheme: Application to light-front dynamics // Physical Review D. 2009. V. 80. N 10. P. 105012. https://doi.org/10.1103/physrevd.80.105012

11. Cavoretto R. Adaptive radial basis function partition of unity interpolation: A bivariate algorithm for unstructured data // Journal of Scientific Computing. 2021. V. 87. N 2. P. 41. https://doi.org/10.1007/s10915-021-01432-z

12. Yasmin G., Muhui A., Araci S. Certain Results of q -Sheffer–Appell polynomials // Symmetry. 2019. V. 11. N 2. P. 159. https://doi.org/10.3390/sym11020159

13. Weierstrass K. Mathematische Werke. Bd.3. P.1. 14. Pasioti A. On the constrained solution of RBF surface approximation // Mathematics. 2022. V. 10. N 15. P. 2582. https://doi.org/10.3390/math10152582

14. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

15. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии: Геометри­ ческие главы. М.: Наука, 1977. 487 с.

16. Толстых В.Н. Нейронные сети для экстраполяции временных рядов // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2023. Т. 15. № 6. С. 4–11. https://doi.org/10.36724/2409-5419-2023-15-6-4-11

17. Толстых В.Н. О развитии методов классификации и регрессии // Волновая электроника и инфокоммуникационные системы: Материалы XXVI Международной научной конференции. В 3-х частях. Часть 1. СПб.: Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, 2023. С. 113– 117.