Вариационная задача адаптивного оптимального управления. Теоретический и прикладной компьютерный анализ

Предмет исследования. Рассмотрена задача адаптивного оптимального управления динамической системой, относящейся к классу условных вариационных задач с подвижными границами. Проведено вариационное и компьютерное исследования управляемого адаптивного движения материальной точки в задаче минимизации энергетического функционала качества с подвижной, заранее незаданной правой трансграницей. А также в случае, когда масса точки меняется в зависимости от нефиксированного конечного момента времени. Метод. Задача решена с использованием схем и процедур классического вариационного исчисления. Процедуры включают вывод вариации вспомогательного функционала качества, соответствующих уравнений Эйлера и адаптивного алгоритма оценивания. При решении общей условной вариационной задачи исследована полученная замкнутая система дифференциальных уравнений для формирования адаптивной оптимальной системы управления динамическим объектом с заданным функционалом качества. Основные результаты. Результаты безусловной постановки задачи обобщены на случай дополнительных дифференциальных (неголономных) и голономных связей. В вариационной адаптивной задаче оптимального управления условие трансверсальности сформулировано в терминах условия локального программирования. Достигнутые результаты имеют отношение к полученным конкретным уравнениям, выражениям и формулам относительно изучаемого модельного примера. Получены графики основных функций времени, определяющие характер движения объекта управления и качество переходных процессов. Практическая значимость. Разработанная вариационная схема адаптивного оптимального синтеза может быть использована при расчете и проектировании управляемых динамических систем. Построенная оптимизационная схема перспективна, в том числе для применения в системах, у которых время функционирования заранее не фиксировано. Предложенные алгоритмы адаптивного оптимального управления для целенаправленного движения изучаемой материальной точки успешно прошли тестирование в цифровом режиме и показали свою эффективность. Сделан вывод, что алгоритмы являются перспективными для дальнейшего использования в более сложных нелинейных адаптивных системах динамического оптимального регулирования.

1. Блисс Д.Э. Лекции по вариационному исчислению. М.: Издательство иностранной литературы, 1950. 348 с.

2. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 228 с.

3. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

4. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974. 488 с.

5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 429 с.

6. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

7. Дикусар В.В., Милютин А.А. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. 143 с.

8. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 446 с.

9. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991. 215 с.

10. Тертычный-Даури В.Ю. Галамех, Т.4. Оптимальная механика. М.: Физматлит, 2019. 608 с.

11. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

12. Ведяков А.А., Милованович Е.В., Тертычный-Даури В.Ю., Тимофеева Г.В. Оптимальное управление как условная вариационная задача с подвижной правой границей // Научно технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2019. Т. 19. № 1. С. 59–66. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2019-19-1-59-66

13. Дегтярев Г.Л. Синтез оптимального управления в системе с распределёнными параметрами с помощью функций Ляпунова // Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. Новосибирск: Наука, 1981. C. 75–83.

14. Матвеев А.С. Вариационный анализ в задачах оптимизации систем с распределёнными параметрами и вектор-функции множества // Сибирский математический журнал. 1990. Т. 31. № 6. С. 127–141.

15. Панченков А.Н. Экстремальные задачи управления движением с локальными функционалами // Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. Новосибирск: Наука, 1979. С. 190–202.

16. Тертычный-Даури В.Ю. Галамех. Т.1. Адаптивная механика. М.: Физматлит, 2019. 544 с.

17. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

18. Фомин В.Н. Математическая теория обучаемых опознающих систем. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976. 236 с.

19. Тертычный-Даури В.Ю. Адаптивная механика. М.: Факториал Пресс, 2003. 464 с.

20. Цыпкин Я.З. Оптимальные алгоритмы оценивания параметров в задачах идентификации // Автоматика и телемеханика. 1982. № 12. C. 9–23.

21. Цыпкин Я.З. Оптимальные адаптивные системы управления // Доклады АН СССР. 1984. Т. 277. № 5. C. 1091–1096.

22. Тертычный-Даури В.Ю. Решение вариационных динамических задач в условиях параметрической неопределенности // Проблемы передачи информации. 2005. Т. 41. № 1. C. 53–67.

23. Тертычный-Даури В.Ю. Вариационные динамические задачи с параметрами и их адаптивная интерпретация // Автоматика и телемеханика. 2005. № 9. C. 114–128.

24. Тертычный-Даури В.Ю. Условная задача оптимального управления: адаптивный метод решения // Автоматика и телемеханика. 2006. № 3. C. 54–67.

25. Anderson B., Moore J. Optimal Control: Linear Quadratic Methods. N.Y.: Prentice-Hall Inc., 1990. 352 p.

26. Leitmann G. The Calculus of Variations and Optimal Control. N.Y.: Plenum Press, 1981. 312 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4899-0333-4

27. Landau I.D. Adaptive Control Systems: The Model Reference Approach. N.Y.: Marcel Dekker, 1979. 406 p.

28. Блэтт Д., Лайнесс Д. Практическое использование вариационных принципов в нелинейной механике // Механика. Сборник переводов. М.: Мир, 1964. № 5. C. 5–11.

29. Mayne D.Q., Polak E. First-order strong variation algorithms for optimal control problems with terminal inequality constraints // Journal of Optimization Theory and Applications. 1975. V. 16. N 3-4. P. 277–301. https://doi.org/10.1007/bf01262938

30. Trullson E., Ljung L. Adaptive control based on explicit criterion minimization // Automatica. 1985. V. 21. N 4. P. 385–399. https://doi.org/10.1016/0005-1098(85)90075-5

31. Hestenes M.R. On variational theory and optimal control theory // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series A Control. 1965. V. 3. N 1. P. 23–48. https://doi.org/10.1137/0303003

32. McShane E.Y. Relaxed controls and variational problems // SIAM Journal on Control. 1967. V. 5. N 3. P. 438–485. https://doi.org/10.1137/0305027