О влиянии сосредоточенного включения на спектр собственных колебаний струны и балки Бернулли–Эйлера

Предмет исследования. Представлены результаты исследования малых поперечных колебаний струны и балки Бернулли–Эйлера с сосредоточенным включением. Физические характеристики струны и балки считаются постоянными величинами, а включение моделируется с помощью дельта-функции Дирака и описывается двумя параметрами: местоположением и массой. Рассматривается задача об определении этих параметров по измерению сдвига резонансной частоты. Метод. В качестве основного метода исследования предложено разложение функции перемещения по собственным формам. Коэффициенты разложения определяются с помощью метода Гринберга. В случае точечного дефекта их подстановка в исходное разложение позволяет получить характеристическое уравнение, определяющее влияние включения на собственные частоты струны и балки. Основные результаты. Представлено аналитическое решение задачи о малых поперечных колебаниях струны и балки Бернулли–Эйлера с точечным включением. Предложен метод нахождения частотных уравнений, полностью определяющих его влияние на спектр колебаний. На основе предложенного метода выведены соотношения, позволяющие идентифицировать параметры включения, получены зависимости этих параметров от сдвига резонансной частоты. Показана возможность независимого определения массы и местоположения дефекта по измерению сдвига двух собственных частот. Обсуждение. Работа направлена на развитие аналитических методов моделирования динамики континуальных механических систем с неоднородной структурой. Описание их динамического отклика представляет значительный практический интерес при создании различного типа датчиков, таких как акселерометры, датчики скорости, давления и другие. Полученные результаты могут быть использованы при разработке детекторов массы, работа которых основана на изменении собственной частоты колебаний.

1. Glazov A.L., Muratikov K.L. Generalized thermoelastic effect in real metals and its application for describing photoacoustic experiments with Al membranes // Journal of Applied Physics. 2020. V. 128. N 9. P. 095106. https://doi.org/10.1063/5.0013308

2. Glazov A.L., Muratikov K.L. The influence of mechanical stresses on the characteristics of laser-ultrasonic signals in the vicinity of a hole in silicon nitride ceramics // Technical Physics Letters. 2021. V. 47. N 8. P. 605–608. https://doi.org/10.1134/s1063785021060225

3. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Влияние дефекта массы на частоты и формы продольных колебаний стержня // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2014. № 1. С. 135–144.

4. Akulenko L.D., Baidulov V.G., Georgievskii D.V., Nesterov S.V. Evolution of natural frequencies of longitudinal vibrations of a bar as its cross-section defect increases // Mechanics of Solids. 2017. V. 52. N 6. P. 708–714. https://doi.org/10.3103/s0025654417060103

5. Rabinovich D., Givoli D., Turkel E. Single-field identification of inclusions and cavities in an elastic medium // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2024. V. 125. N 1. P. e7364. https://doi.org/10.1002/nme.7364

6. Thiruvenkatanathan P., Yan J., Woodhouse J., Aziz A., Seshia A.A. Ultrasensitive mode-localized mass sensor with electrically tunable parametric sensitivity // Applied Physics Letters. 2010. V. 96. N 8. P. 081913. https://doi.org/10.1063/1.3315877

7. Pachkawade V. State-of-the-art in mode-localized MEMS coupled resonant sensors: A comprehensive review // IEEE Sensors Journal. 2021. V. 21. N 7. P. 8751–8779. https://doi.org/10.1109/jsen.2021.3051240

8. Индейцев Д.А., Можгова Н.В., Лукин А.В., Попов И.А. Модель микромеханического модально-локализованного акселерометра с чувствительным элементом в виде балки с начальной погибью // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2023. № 3. С. 135–151. https://doi.org/10.31857/S0572329922600645

9. Dohn S., Svendsen W., Boisen A., Hansen O. Mass and position determination of attached particles on cantilever based mass sensors // Review of Scientific Instruments. 2007. V. 78. N 10. P. 103303. https://doi.org/10.1063/1.2804074

10. Schmid S., Dohn S., Boisen A. Real-time particle mass spectrometry based on resonant micro strings // Sensors. 2010. V. 10. N 9. P. 8092– 8100. https://doi.org/10.3390/s100908092

11. Bouchaala A., Nayfeh A.H., Jaber N., Younis M.I. Mass and position determination in MEMS mass sensors: a theoretical and an experimental investigation // Journal of Micromechanics and Microengineering. 2016. V. 26. N 10. P. 105009. https://doi.org/10.1088/0960-1317/26/10/105009

12. Bouchaala A., Nayfeh A.H., Younis M.I. Frequency shifts of micro and nano cantilever beam resonators due to added masses // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2016. V. 138. N 9. P. 091002. https://doi.org/10.1115/1.4033075

13. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М: Высшая школа, 1980. 406 с.

14. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ, 2004. 414 с.

15. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Физматлит, 1981. 798 с.