Смешанные формы свободных колебаний прямоугольной CFCF-пластины

Предмет исследования. Изучены смешанные (симметрично/антисимметричные, symmetric/antisymmetric (S-A/A-S)) формы собственных колебаний тонкой прямоугольной пластины постоянной толщины, у которой две параллельные стороны жестко защемлены, а две другие свободны (CFCF-пластина, С — clamped, F — free). Метод. При удовлетворении всем условиям краевой задачи с помощью двух гиперболо-тригонометрических рядов координатной функции прогибов получена разрешающая бесконечная однородная система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов рядов. Использованы четные функции по одной координате и нечетные по другой координате для получения симметрично-антисимметричных форм колебаний. В качестве параметра указанная система содержит относительную частоту свободных колебаний.  Нетривиальные решения редуцированной системы получены методом последовательных приближений в сочетании с перебором частотного параметра. Основные результаты. Численные результаты вычислены для спектра из первых шести смешанных S-A и A-S форм свободных колебаний тонкой квадратной CFCF-пластины постоянной толщины. Проведено сравнение собственных частот с результатами подобных исследований и с известными экспериментальными значениями. Изучено влияние на точность результатов количества членов, удерживаемых в рядах (размер редуцированной системы), и числа итераций. Представлены 3D-изображения найденных форм колебаний. Практическая значимость. Полученные результаты могут быть применены при проектировании различных датчиков и сенсоров, использующих явление резонанса.

1. Leissa A.W., Qatu M.S. Vibrations of Continuous Systems. McGraw-Hill Companies, 2011. 507 p.

2. Ilanko S., Monterrubio L., Mochida Y. The Rayleigh-Ritz Method for Structural Analysis. Hoboken, NJ: Wiley & Sons, 2014. 240 p. https://doi.org/10.1002/9781118984444

3. Monterrubio L.E., Ilanko S. Proof of convergence for a set of admissible functions for the Rayleigh–Ritz analysis of beams and plates and shells of rectangular planform // Computers and Structures. 2 0 1 5 . V. 1 4 7 . P. 2 3 6 – 2 4 3 . https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2014.09.008

4. Narita Y. Polya counting theory applied to combination of edge conditions for generally shaped isotropic plates // EPI International Journal of Engineering. 2019. V. 2. N 2. P. 194–202. https://doi.org/10.25042/epi-ije.082019.16

5. Narita Y., Innami M. Identifying all combinations of boundary conditions for in-plane vibration of isotropic and anisotropic rectangular plates // Thin-Walled Structures. 2021. V. 164. P. 107320. https://doi.org/10.1016/j.tws.2020.107320

6. Lopatin A.V., Morozov E.V. Fundamental frequency and design of the CFCF composite sandwich plate // Composite Structures. 2011. V. 9 3 . N 2 . P. 9 8 3 – 9 9 1 . https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2010.06.023

7. Nagino H., Mikami T., Mizusawa T. Three-dimensional free vibration analysis of isotropic rectangular plates using the B-spline Ritz method // Journal of Sound and Vibration. 2008. V. 317. N 1-2. P. 329–353. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2008.03.021

8. Liu X., Banerjee J.R. A spectral dynamic stiffness method for free vibration analysis of plane elastodynamic problems // Mechanical Systems and Signal Processing. 2017. V. 87. Part A. P. 136–160. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2016.10.017

9. Liu X., Banerjee J.R. Free vibration analysis for plates with arbitrary boundary conditions using a novel spectral-dynamic stiffness method // Computers & Structures. 2016. V. 164. P. 108–126. https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2015.11.005

10. Kshirsagar S., Bhaskar K. Accurate and elegant free vibration and buckling studies of orthotropic rectangular plates using untruncated infinite series // Journal of Sound and Vibration. 2008. V. 314. N 3–5. P. 837–850. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2008.01.013

11. Du J., Li W.L., Jin G., Yang T., Liu Z. An analytical method for the in-plane vibration analysis of rectangular plates with elastically restrained edges // Journal of Sound and Vibration. 2007. V. 306. N 3-5. P. 908–927. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2007.06.011

12. Li R., Zheng X., Wang P., Wang B., Wu H., Cao Y., Zhu Z. New analytic free vibration solutions of orthotropic rectangular plates by a novel symplectic approach // Acta Mechanica. 2019. V. 230. N 9. P. 3087–3101. https://doi.org/10.1007/s00707-019-02448-1

13. Eisenberger M., Deutsch A. Solution of thin rectangular plate vibrations for all combinations of boundary conditions // Journal of Sound and Vibration. 2019. V. 452. P. 1–12. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2019.03.024

14. Deutsch A., Tenenbaum J., Eisenberger M. Benchmark vibration frequencies of square thin plates with all possible combinations of classical boundary conditions // International Journal of Structural Stability and Dynamics. 2019. V. 19. N 11. P. 1950131. https://doi.org/10.1142/S0219455419501311

15. Sukhoterin M., Baryshnikov S., Knysh T., Rasputina E. Stability of rectangular cantilever plates with high elasticity // E3S Web of Conferences. 2021. V. 244. P. 04004. https://doi.org/10.1051/e3sconf/202124404004

16. Lekhnitskii S.G. Anisotropic Plates. New York: Gordon & Breach, 1968. 534 p.

17. Singal R.K., Gorman D.J., Forques S.A. A comprehensive analytical solution for free vibration of rectangular plates with classical edge coditions: Experimental verification // Experimental Mechanics. 1992. V. 32. N 1. P. 21–23. https://doi.org/10.1007/BF02317979