Критические нагрузки антисимметричных и смешанных форм защемленной нанопластины при двухосном сжатии

Введение. Изучен процесс вычисления спектра критических нагрузок антисимметричных и смешанных форм равновесия после потери устойчивости защемленной по контуру высокоупругой прямоугольной нанопластины (CCCC-пластина) (С — clamped edge, защемленный край) при двухосном сжатии и различных значениях нелокального параметра Эрингена.
Метод. Искомые формы закритического равновесия представлены двумя гиперболо-тригонометрическими рядами с неопределенными коэффициентами при соответствующих комбинациях нечетных и четных функций. Каждый из рядов подчинялся основному дифференциальному уравнению физического состояния Эрингена, а затем их сумма подчинялась всем граничным условиям задачи. В результате получена бесконечная однородная система линейных алгебраических уравнений относительно одной последовательности неизвестных коэффициентов рядов, содержащая в качестве основного параметра величину сжимающей нагрузки. Для поиска собственных чисел (критических нагрузок) использован впервые предложенный итерационный процесс отыскания нетривиальных решений в сочетании с методом «стрельбы».
Основные результаты. Для ряда значений нелокального параметра e₀A из рабочего диапазона [0–2] теории Эрингена (0 — классическая теория) с шагом 0,25 впервые получен спектр из 10 относительных критических нагрузок. Установлено, что с ростом нелокального параметра критические нагрузки уменьшались. Краевые эффекты не обнаружены. Анализировалась точность компьютерных вычислений. Изменяемыми параметрами вычислительной программы являются относительная сжимающая нагрузка, отношение сторон пластины, значения нелокального параметра Эрингена, число итераций, количество членов в рядах, количество значащих цифр вычислительного процесса.
Обсуждение. Предложенная методика и полученные численные результаты могут быть использованы при проектировании чувствительных элементов различных датчиков в smart-конструкциях.

1. Eringen A.C. Linear theory of nonlocal elasticity and dispersion of plane waves // International Journal of Engineering Science. 1972. V. 10. N 5. P. 425–435. https://doi.org/10.1016/0020-7225(72)90050-X

2. Eringen A.C. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves // Journal of Applied Physics. 1983. V. 54. N 9. P. 4703–4710. https://doi.org/10.1063/1.332803

3. Chen Y., Lee J.D., Eskandarian A. Atomistic viewpoint of the applicability of microcontinuum theories // International Journal of Solids and Structures. 2004. V. 41. N 8. P. 2085–2097. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2003.11.030

4. Duan W.H., Wang C.M., Zhang Y.Y. Calibration of nonlocal scaling effect parameter for free vibration of carbon nanotubes by molecular dynamics // Journal of Applied Physics. 2007. V. 101. N 2. P. 024305. https://doi.org/10.1063/1.2423140

5. Ravari M.R.K., Talebi S., Shahidi A.R. Analysis of the buckling of rectangular nanoplates by use of finite-difference method // Meccanica. 2014. V. 49. N 6. P. 1443–1455. https://doi.org/10.1007/s11012-014-9917-x

6. Malikan M. Analytical predictions for the buckling of a nanoplate subjected to non-uniform compression based on the four-variable plate theory // Journal of Applied and Computational Mechanics. 2017. V. 3. N 3. P. 218–228. https://doi.org/10.22055/jacm.2017.21757.1115

7. Bastami M., Behjat B. Ritz solution of buckling and vibration problem of nanoplates embedded in an elastic medium // Sigma Journal of Engineering and Natural Sciences. 2017. V. 35. N 2. P. 285–302.

8. Ebrahimi F., Barati M.R. Buckling analysis of piezoelectrically actuated smart nanoscale plates subjected to magnetic field // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2017. V. 28. N 11. P. 1472–1490. https://doi.org/10.1177/1045389x16672569

9. Wang Z., Xing Y., Sun Q., Yang Y. Highly accurate closed-form solutions for free vibration and eigenbuckling of rectangular nanoplates // Composite Structures. 2019. V. 210. P. 822–830. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2018.11.094

10. Chwał M., Muc A. Buckling and free vibrations of nanoplates—comparison of nonlocal strain and stress approaches // Applied Sciences. 2019. V. 9. N 7. P. 1409. https://doi.org/10.3390/app9071409

11. Shahraki M.E., Jam J.E. Investigating the buckling and vibration of a Kirchhoff rectangular nanoplate using modified couple stress theory // University Proceedings. Volga Region. Physical and Mathematical Sciences. 2023. N 4 (68). P. 75–89. https://doi.org/10.21685/2072-3040-2023-4-7

12. Zheng X., Huang M., An D., Zhou C., Li R. New analytic bending, buckling, and free vibration solutions of rectangular nanoplates by the symplectic superposition method // Scientific Reports. 2021. V. 11. N 1. P. 2939. https://doi.org/10.1038/s41598-021-82326-w

13. Wang W., Rong D., Xu C., Zhang J., Xu X., Zhou Z. Accurate buckling analysis of magnetically affected cantilever nanoplates subjected to inplane magnetic fields // Journal of Vibration Engineering & Technologies. 2020. V. 8. N 4. P. 505–515. https://doi.org/10.1007/s42417-019-00106-3

14. Сухотерин М.В., Сосновская А.А. Потеря устойчивости защемленной по контуру прямоугольной нанопластины // Научнотехнический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2024. Т. 24. № 4. С. 629–636. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2024-24-4-629-636

15. Сухотерин М.В., Распутина Е.И., Пижурина Н.Ф. Смешанные формы свободных колебаний прямоугольной CFCF-пластины // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2023. Т. 23. № 2. С. 413–421. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2023-23-2-413-421

16. Сухотерин М.В. Изгиб консольных пластин поперечной нагрузкой: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / Ленинградский Политехнический институт им. М.И. Калинина. Л., 1978. 16 с.

17. Абрамян Б.Л. Об одной осесимметричной задаче для сплошного весомого цилиндра конечной длины // Механика твердого тела. 1983. № 1. С. 55–62.