Вейвлеты Эрмита–Гаусса: синтез дискретных форм и исследование свойств

   Введение. Изложены результаты исследований собственных векторов и вектор-функций дискретного и непрерывного преобразования Фурье. Известно, что такими собственными векторами являются произведения функции Гаусса на полиномы Эрмита, предлагается название для полученных на основе указанного произведения функций: вейвлеты Эрмита–Гаусса.

   Метод. В работе применены методы математического анализа непрерывных функций и численные методы для исследования свойств и методов синтеза собственных векторов и вектор-функций дискретного и непрерывного преобразования Фурье.

   Основные результаты. Получены выражения вычисления масштабного параметра и нормирующего множителя для дискретных форм вейвлетов Эрмита–Гаусса. Выполненные исследования позволяют утверждать, что масштабный параметр дискретной формы вейвлетов Эрмита–Гаусса зависит от числа отсчетов, а норма зависит от числа отсчетов и номера вейвлета. Сформирована форма матриц преобразования Фурье, обладающая хорошей обусловленностью при вычислении собственных векторов в форме вейвлетов Эрмита–Гаусса.

   Обсуждение. Вейвлеты Эрмита–Гаусса образуют базис и потому могут быть использованы в задачах декомпозиции и синтеза сигналов. При выборе материнского вейвлета для декомпозиции и синтеза в первую очередь следует руководствоваться особенностями и свойствами образуемых им форм. Отмечено, что для некоторых сигналов могут дать компактное разложение вейвлеты Морле или Добеши, для других — вейвлеты Хара, есть и такие сигналы, для спектральной декомпозиции которых наиболее эффективны вейвлеты Эрмита–Гаусса.

1. Коровкин Н.В., Грицутенко С.С. О применимости быстрого преобразования Фурье для гармонического анализа несинусоидальных токов и напряжений // Известия Российской академии наук. Энергетика. 2017. № 2. С. 73–86.

2. Berber S. Theory of the design, and operation of digital filters // Discrete Communication Systems. 2021. P. 797–823. doi: 10.1093/oso/9780198860792.003.0016

3. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии. М.: Триумф, 2003. 320 с.

4. Rioul O., Vetterli M. Wavelets and signal processing // IEEE Signal Processing Magazine. 1991. V. 8. N 4. P. 14–38. doi: 10.1109/79.91217

5. Chen C., Liu M.-Y., Tuzel O., Xiao J. R-CNN for small object detection // Lecture Notes in Computer Science. 2017. V. 10115. P. 214–230. doi: 10.1007/978-3-319-54193-8_14

6. Дворников С.В., Сауков А.М. Метод распознавания радиосигналов на основе вейвлет-пакетов // Научное приборостроение. 2004. Т. 14. № 1. С. 85–93.

7. Подкур П.Н., Смоленцев Н.К. Вейвлет-пакетное разложение ЭЭГ на основные частотные ритмы // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2016. № 2 (35). С. 54–61. doi: 10.17223/19988605/35/6

8. Коробейников А.Г., Сидоркина И.Г. Первичная обработка данных о сейсмическом событии при помощи вейвлетов в MatLab // Кибернетика и программирование. 2018. № 1. С. 36–47. doi: 10.25136/2306-4196.2018.1.25245

9. Кислинский В.С., Грахова Е.П., Абдрахманова Г.И. Применение вейвлетов и функций Эрмита для моделирования СШП-импульсов под требования маски ГКРЧ // Инфокоммуникационные технологии. 2015. Т. 13. № 4. С. 391–398. doi: 10.18469/ikt.2015.13.4.05

10. Lindsey A.R. Wavelet packet modulation for orthogonally multiplexed communication // IEEE Transactions on Signal Processing. 1997. V. 45. P. 1336–1339. doi: 10.1109/78.575704

11. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Применение некоторых вейвлетов для генерации широкополосных сигналов // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2017. Т. 60. № 8. С. 712–720. doi: 10.17586/0021-3454-2017-60-8-712-720

12. Гришенцев А.Ю., Коровкин Н.В., Коробейников А.Г. Исследование свойств преобразования Фурье вейвлетов Эрмита-Гаусса и применение полученных результатов в задачах радиоэлектроники // Журнал радиоэлектроники. 2025. № 6. C. 13. doi: 10.30898/1684-1719.2025.6.11

13. Гришенцев А.Ю., Арустамов С.А., Коробейников А.Г., Козин О.В. Защита канала широкополосной связи с применением ортогональных шумоподобных сигнальных символов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2019. Т. 19. № 2. С. 280–291. doi: 10.17586/2226-1494-2019-19-2-280-291

14. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. № 6 (324). С. 53–128. doi: 10.4213/rm89

15. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001. Т. 171. С. 465–501. doi: 10.3367/UFNr.0171.200105a.0465

16. Семенов В.И., Чумаров С.Г. От конструирования вейвлетов на основе производных функции Гаусса к синтезу фильтров с конечной импульсной характеристикой // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2024. Т. 24. № 2. С. 306–313. doi: 10.17586/2226-1494-2024-24-2-306-313

17. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Физматгиз, 1963. 704 с.

18. Tokita S., Sugiyama T., Noguchi F., Fujii H., Kobayashi H. An attempt to construct an isosurface having symmetry elements // Journal of Computer Chemistry, Japan. 2005. V. 5. N. 3. P. 159–164. doi: 10.2477/jccj.5.159

19. Гришенцев А.Ю. Автокорреляционные и фрактальные свойства матриц линейного унитарного преобразования Фурье // Радиотехника. 2019. № 1. С. 5–14. doi: 10.18127/j00338486-201901-01

20. Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Алгебра, приближение функций. Киев: Наукова думка, 1987. 287 с.

21. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.