Методы моделирования аномальных режимов динамических процессов на основе энергетической оценки

Введение. Рассматривается задача о методологии прогнозирования особых режимов динамических процессов, в частности — нелинейного эффекта, возникающего в морской среде, называемого «волнами-убийцами». Волны-убийцы — волны, возникающие в океане, как правило, внезапно, существующие короткий временной промежуток и обладающие огромным разрушительным потенциалом. Существует множество направлений в изучении данного явления, основанных на применении компьютерного моделирования и численных методов. При этом наблюдается тенденция поиска волн-убийц не только в гидродинамике, но и в других предметных областях, в которых при построении моделей исследуемых явлений и процессов применяется аппарат решения соответствующих начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Как правило, исследования направлены на поиск решения дифференциальных уравнений, на основе которых удается продемонстрировать возникновение аномально высоких волн. Следует отметить, что поиск аналитических решений для некоторых дифференциальных уравнений является крайне сложной задачей или даже не решаемой.

Метод. Предлагается альтернативный подход, позволяющий доказать существование возможности возникновения аномалии без необходимости решения системы дифференциальных уравнений. В результате производится построение модели динамической системы, похожей на формализм теории Купмана, отличающейся учетом асимптотической скорости роста образа динамического оператора в энергетическом пространстве, на основе которого возникает упорядоченная иерархия классов динамических операторов. Предлагается определение аномалии в формализме рассматриваемого математического аппарата, при этом, феномен волны-убийцы интерпретируется как частный случай возникновения аномального явления в гидродинамической системе при достаточно высоком среднем значении волнового фона.

Основные результаты. Разработан метод, позволяющий рассматривать эволюцию динамической системы на основе взаимодействия выделенных объемов рассматриваемой среды и их обмена энергией. В рамках предложенного подхода удается сформулировать необходимые условия возникновения аномального явления и достаточные условия отсутствия возникновения аномалий. Предлагается метод обработки временного ряда, учитывающий гипотезу о периодичности возникновения аномальных явлений.

Обсуждение. Демонстрируется существование аномалий в магнитогидродинамических процессах, для доказательства которого проводится построение модели инверсии магнитного поля, причем решение дисперсионного уравнения осуществляется с помощью модификации численного метода Иванисова–Полищука, состоящей в комбинировании его алгоритма и метода оптимизации Adam. Полученные результаты могут быть востребованы для дальнейшего развития изучения устройства динамических систем и для выявления большего количества междисциплинарных связей, позволяющих конструктивно перенести часть результатов из одной предметной области в другую.

1. Куркин А.А., Пелиновский Е.Н. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. Москва; Берлин: Директ-Медиа, 2016. 178 с.

2. Brule S., Enoch S., Guenneau S. On the possibility of seismic rogue waves in very soft soils // arXiv. 2020. arXiv:2004.07037v1. https://doi.org/10.48550/arXiv.2004.07037

3. McAllister M.L., Draycott S., Adcock T.A.A., Taylor P.H., van den Bremer T.S. Laboratory recreation of the Draupner wave and the role of breaking in crossing seas // Journal of Fluid Mechanics. 2019. V. 860. P. 767–786. https://doi.org/10.1017/jfm.2018.886

4. Wu X.Y., Tian B., Qu Q.X., Yuan Y.Q., Du X.X. Rogue waves for a (2+1)-dimensional Gross-Pitaevskii equation with time-varying trapping potential in the Bose–Einstein condensate // Computers & Mathematics with Applications. 2020. V. 79. N 4. P. 1023–1030. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.08.015

5. Yang B., Yang J. Rogue wave patterns in the nonlinear Schrödinger equation // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2021. V. 419. P. 132850. https://doi.org/10.1016/j.physd.2021.132850

6. Li B.Q. Hybrid breather and rogue wave solution for a (2+1)- dimensional ferromagnetic spin chain system with variable coefficients // International Journal of Computer Mathematics. 2022. V. 99. N 3. P. 506–519. https://doi.org/10.1080/00207160.2021.1922678

7. Liu J.G., Zhu W.H. Multiple rogue wave solutions for (2+1)-dimensional Boussinesq equation // Chinese Journal of Physics. 2020. V. 67. P. 492–500. https://doi.org/10.1016/j.cjph.2020.08.008

8. Knuth D.E. Mathematics and computer science: coping with finiteness // Science. 1976. V. 194. N 4271. P. 1235–1242. https://doi.org/10.1126/science.194.4271.1235

9. Kharif C., Pelinovsky E., Slunyaev A. Rogue Waves in the Ocean. Springer, 2009. 216 p.

10. Шамин Р.В., Юдин А.В. Моделирование пространственно-временного распространения волн-убийц // Доклады Академии наук. 2013. Т. 448. № 5. C. 592–594. https://doi.org/10.7868/S0869565213050228

11. Kazankov V.K., Shmeleva A.G., Zaitseva E.V. Unstable plastic flow in structural materials: time series for analysis of experimental data // Materials Physics and Mechanics. 2022. V. 48. N 2. P. 208–216. https://doi.org/10.18149/MPM.4822022_6

12. Kazankov V.K., Peregudin S.I., Kholodova S.E. Mathematical modeling of geophysical processes in a layer of electrically conductive liquid of variable depth // Springer Geology. 2023. P. 331–341. https://doi.org/10.1007/978-3-031-16575-7_32

13. Ivanisov A.V., Polishchuk V.K. A method of finding the roots of polynomials which converge for any initial approximation // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1985. V. 25. N 3. P. 1–7. https://doi.org/10.1016/0041-5553(85)90066-7

14. Kingma D.P., Ba J. Adam: a method for stochastic optimization // arXiv. 2014. arXiv:1412.6980. https://doi.org/10.48550/arXiv.1412.6980

15. Михайлов Е.А., Хасаева Т.Т., Тепляков И.О. Возникновение контрастных структур для галактического магнитного поля: теоретические оценки и моделирование на видеокартах // Труды Института системного программирования РАН. 2021. Т. 33. № 6. С. 253-264. https://doi.org/10.15514/ISPRAS-2021-33(6)-18