Метод поиска функции Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных систем с использованием генетического алгоритма

Введение. Рассмотрен широкий класс гладких непрерывных динамических нелинейных систем (объектов управления) с измеряемым вектором состояния. Поставлена задача поиска специальной функции (функции Ляпунова), которая в рамках второго метода Ляпунова гарантирует асимптотическую устойчивость для представленного класса нелинейных систем. Известно, что поиск функции Ляпунова является крайне сложной задачей, не имеющей универсального решения в теории устойчивости. Методы подбора или поиска функции Ляпунова для анализа устойчивости замкнутых линейных стационарных систем и для нелинейных объектов с явно выраженными линейной динамической и нелинейной статической частями хорошо изучены. Вместе с тем универсальных подходов к поиску функции Ляпунова для более общего класса нелинейных систем не выявлено. В работе предложен новый подход к поиску функции Ляпунова для анализа устойчивости гладких непрерывных динамических нелинейных систем с измеряемым вектором состояния. Метод. Сущность предлагаемого подхода состоит в представлении некоторой функции через сумму нелинейных слагаемых, являющихся возведенными в положительные степени элементами вектора состояния объекта, умноженными на неизвестные коэффициенты. Поиск этих коэффициентов осуществлен с использованием классического генетического алгоритма, включающего операции мутации, селекции и кроссовера. Найденные коэффициенты обеспечивают все необходимые условия для функции Ляпунова (в рамках второго метода Ляпунова). Подход на основе генетического алгоритма не требует обучающей выборки, которая накладывает ограничения в виде структуры объектов управления, включенных в нее. Основные результаты. Предложен новый метод поиска функции Ляпунова, представленной в виде нелинейного ряда с известными функциями, умноженными на неизвестные коэффициенты. Эффективность метода продемонстрирована с использованием компьютерных симуляций с фиксированным количеством итераций и изменяющимся размером популяции. Установлена зависимость количества успешно найденных функций Ляпунова от количества итераций генетического алгоритма. Выполнен анализ сходимости генетического алгоритма с использованием схем Холланда. Показано, что значения искомых коэффициентов потенциальной функции Ляпунова на каждой итерации алгоритма приближаются к коэффициентам функции Ляпунова, представленной в виде ряда Тейлора. Обсуждение. Предложенный метод превосходит известные аналоги по быстродействию, рассматривает разложение потенциальной функции Ляпунова в ряд Тейлора с неизвестными коэффициентами, вместо использования контрпримеров или шаблонных функций.

1. Li X., Yang X. Lyapunov stability analysis for nonlinear systems with state-dependent state delay // Automatica. 2020. V. 112. P. 108674– 108680. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2019.108674

2. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Strelbytskyy Multimedia Publishing, 2018. 545 с.

3. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 549 с.

4. Wu Y., Xie X. A new analysis approach to the output constraint and its application in high-order nonlinear systems // Science China Information Sciences. 2023. V. 66. N 5. P. 159206. https://doi.org/10.1007/s11432-022-3572-7

5. Иванов С.Е., Телевной А.Д. Численно-аналитический метод преобразований для анализа нелинейных математических моделей полиномиальной структуры // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2022. № 2. С. 97–109. https://doi.org/10.24143/2072-9502-2022-2-97-109

6. Srivastava Y., Srivastava S., Chaudhary D., Blanco Valencia X.P. Performance improvement and Lyapunov stability analysis of nonlinear systems using hybrid optimization techniques // Expert Systems. 2022. P. e13140. in press. https://doi.org/10.1111/exsy.13140

7. Giesl P., Hafstein S. Computational methods for Lyapunov functions // Discrete and Continuous Dynamical Systems — Series B. 2015. V. 20. N 8. P. i-ii. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2015.20.8i

8. Papachristodoulou A., Anderson J., Valmorbida G., Prajna S., Seiler P., Parrilo P., Peet M.M., Jagt D. SOSTOOLS Version 4.00 Sum of Squares Optimization Toolbox for MATLAB // arXiv. 2013. arXiv:1310.4716. https://doi.org/10.48550/arXiv.1310.4716

9. Hernández-Solano Y., Atencia M. Numerical methods that preserve a Lyapunov function for ordinary differential equations // Mathematics. 2022. V. 11. N 1. P. 71. https://doi.org/10.3390/math11010071

10. Hafstein S., Giesl P. Review on computational methods for Lyapunov functions // Discrete and Continuous Dynamical Systems — Series B. 2015. V. 20. N 8. P. 2291–2331. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2015.20.2291

11. Verdier C.F., Mazo M. Formal synthesis of analytic controllers for sampled-data systems via genetic programming // Proc. of the 2018 IEEE Conference on Decision and Control (CDC). 2018. P. 4896– 4901. https://doi.org/10.1109/CDC.2018.8619121

12. Ben Sassi M.A., Sankaranarayanan S., Chen X., Ábrahám E. Linear relaxations of polynomial positivity for polynomial Lyapunov function synthesis // IMA Journal of Mathematical Control and Information. 2016. V. 33. N 3. P. 723–756. https://doi.org/10.1093/imamci/dnv003

13. Бородин И.Д. Метод статистического синтеза функции Ляпунова для исследования устойчивости искусственного спутника Земли // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. 2022. Т. 26. № 3(97). С. 14–23. https://doi.org/10.54708/19926502_2022_2639714

14. Феофилов С.В., Козырь А.В., Хапкин Д.Л. Синтез гарантированно устойчивых нейросетевых регуляторов с оптимизацией качества переходного процесса // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. № 12. С. 128–133. https://doi.org/10.24412/2071-6168-2022-12-128-134

15. Abate A., Ahmed D., Giacobbe M., Peruffo A. Formal synthesis of Lyapunov neural networks // IEEE Control Systems Letters. 2021. V. 5. N 3. P. 773–778. https://doi.org/10.1109/LCSYS.2020.3005328

16. Lambora A., Gupta K., Chopra K. Genetic algorithm- a literature review // Proc. of the 2019 International Conference on Machine Learning, Big Data, Cloud and Parallel Computing (COMITCon). 2019. P. 380–384. https://doi.org/10.1109/COMITCon.2019.8862255

17. Katoch S., Chauhan S.S., Kumar V. A review on genetic algorithm: past, present, and future // Multimedia Tools and Applications. 2021. V. 80. N 5. P. 8091–8126. https://doi.org/10.1007/s11042-020-10139-6

18. Zenkin A.M., Peregudin A.A., Bobtsov A.A. Lyapunov function search method for analysis of nonlinear systems stability using genetic algorithm // arXiv. 2023. arXiv:2307.03030. https://doi.org/10.48550/arXiv.2307.03030

19. Wright A. The exact schema theorem // arXiv. 2011. arXiv:1105.3538. https://doi.org/10.48550/arXiv.1105.3538

20. Holland J.H. Adaptation in Natural and Artificial Systems: An Introductory Analysis with Applications to Biology, Control, and Artificial Intelligence. MIT Press, 1992. 232 p.