Краткий обзор развития теорий робастности, грубости и бифуркаций динамических систем

Рассмотрены вопросы развития теорий робастности, грубости и бифуркаций динамических систем. В современной теории динамических систем и систем автоматического управления все более важными становятся исследования свойств грубости и робастности систем. Изучены методы алгебраического и частотного направлений исследований и обеспечения робастной устойчивости интервальных динамических систем. Приведены основные результаты оригинального алгебраического метода робастной устойчивости для непрерывного и дискретного времени. В частотном направлении исследованы вопросы частотно-робастного метода анализа и синтеза робастных многомерных систем управления на основе использования частотного числа обусловленности передаточной матрицы отношения «вход–выход». Изложены основные положения теории и метода топологической грубости динамических систем. Положения основаны на понятии грубости по Андронову–Понтрягину с введением меры грубости систем в виде числа обусловленности матриц приведения к диагональному (квазидиагональному) базису в особых точках фазового пространства. Сформулированы критерии бифуркаций динамических систем. Приложения метода топологической грубости использованы для исследований синергетических систем и их хаоса на примерах: системы Лоренца и аттрактора Ресслера; реакции Белоусова–Жаботинского; системы Чуа; систем «хищник–жертва» и «хищник–жертва–пища»; бифуркации Хопфа; экономических систем Шумпетера и Калдора; отображения Энона и других. Для исследования слабо формализованных и неформализованных систем предложено использование подхода аналогий теоретико-множественных топологий и абстрактного метода к таким системам. Дальнейшее исследование предполагает развитие теорий грубости и бифуркаций для сложных нелинейных динамических систем.

1. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / пер. с франц. под ред. А.А. Андронова. М.–Л.: Гостехиздат, 1947. 392 с.

2. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Доклады АН СССР. 1937. Т. 14. № 5. С. 247–250.

3. Аносов Д.В. Грубые системы // Труды Математического институ та им. В.А. Стеклова Академии наук CCCР. 1985. Т. 169. С. 59–93.

4. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. ВИНИТИ. 1991. Т. 32. С. 3–31.

5. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 11. С. 2086–2088.

6. Харитонов В.Л. Об одном обобщении критерия устойчивости // Известия АН Казахской ССР. Серия физико-математическая. 1978. № 1. С. 53–57.

7. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость и D-разбиение // Автоматика и телемеханика. 1992. № 7. С. 10–18.

8. Оморов Р.О. Робастность интервальных динамических систем. I. Робастность непрерывных линейных интервальных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. № 1. С. 22–27.

9. Оморов Р.О. Робастность интервальных динамических систем. II. Робастность дискретных линейных интервальных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. № 3. С. 3–7.

10. Оморов Р.О. Алгебраический метод исследования робастности интервальных динамических систем // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2020. Т. 20. № 3. С. 364–370. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2020-20-3-364-370

11. Ушаков А.В., Акунова А., Оморов Р.О., Акунов Т.А. Робастные многомерные системы управления: Частотные и алгебраические методы / под ред. Р.О. Оморова. Бишкек: Илим, 2022. 352 с.

12. Оморов Р.О. Оценка грубости управляемых динамических систем // Известия вузов. Электромеханика. 1990. № 7. С. 81–87.

13. Оморов Р.О. Максимальная грубость динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1991. № 8. С. 36–45.

14. Оморов Р.О. Мера грубости динамических систем и критерии возникновения хаотических колебаний и бифуркаций в синергетических системах // Синтез алгоритмов стабилизации систем: межведомственный сборник. Вып. 8. Таганрог, 1992. С. 128–134.

15. Оморов Р.О. Количественные меры грубости динамических систем и их приложения к системам управления: диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. СПб.: Санкт Петербургский институт точной механики и оптики, 1992. 188 с.

16. Оморов Р.О. Синергетические системы: проблемы грубости, бифуркаций и катастроф // Наука и новые технологии. 1997. № 2. С. 26–36.

17. Оморов Р.О. Метод топологической грубости: Теория и приложения. I. Теория // Известия Национальной Академии наук Кыргызской Республики. 2009. № 3. С. 144–148.

18. Omorov R.O. Topological roughness of synergetic systems // Journal of Automation and Information Sciences. 2012. V. 44. N 4. P. 61–70. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v44.i4.70

19. Оморов Р.О. Теория топологической грубости систем. Приложения к синергетическим системам и хаосу. Бишкек: Илим, 2019. 288 с.

20. Оморов Р.О. Метод топологической грубости динамических систем: Приложения к синергетическим системам // Научно технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2020. Т. 20. № 2. С. 257–262. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2020-20-2-257-262

21. Оморов Р.О. Чувствительность, робастность и грубость динамических систем. М.: ЛЕНАНД, 2021. 304 с.

22. Оморов Р.О. Синергетика и хаос: Топологическая грубость и бифуркации. М.: ЛЕНАНД, 2022. 160 с.

23. Оморов Р.О. Модальная чувствительность, робастность и грубость динамических систем (обзорная статья) // Научно технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2021. Т. 21. № 2. С. 179–190. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2021-21-2-179-190

24. Dorato P.D. A historical review of robust control // IEEE Control Systems Magazine. 1987. V. 7. N 2. P. 44–47. https://doi.org/10.1109/MCS.1987.1105273

25. Джури Э.И. Робастность дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 1990. № 5. С. 3–28.

26. Дискуссия по проблеме робастности в системах управления // Автоматика и телемеханика. 1992. № 1. С. 165–176.

27. Никифоров В.О. Робастное управление линейным объектом по выходу // Автоматика и телемеханика. 1998. № 9. С. 87–99.

28. Пелевин А.Е. Синтез робастного закона управления при неопределенностях параметров модели объекта // Гироскопия и навигация. 1999. № 2(25). С. 63–74.

29. Гусев Ю.М., Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). I. Анализ с использованием интервальных характеристических полиномов // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 1. С. 3–23.

30. Гусев Ю.М., Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). II. Анализ устойчивости интервальных матриц и синтез робастных регуляторов // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 2. С. 3–30.

31. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. I. Анализ // Автоматика и телемеханика. 2002. № 8. С. 37–53.

32. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. Киев: Наукова думка, 2006. 264 с.

33. Barmish B.R., Hollot C.V. Counter-example to a recent result on the stability of interval matrices by S. Bialas // International Journal of Control. 1984. V. 39. N 5. P. 1103–1104. https://doi.org/10.1080/00207178408933235

34. Barmish B.R., Fu M., Saleh S. Stability of a polytope of matrices: Counterexamples // IEEE Transactions on Automatic Control. 1988. V. 33. N 6. P. 569–572. https://doi.org/10.1109/9.1254

35. Bialas S. A necessary and sufficient condition for the stability of interval matrices // International Journal of Control. 1983. V. 37. N 4. Р. 717–722. https://doi.org/10.1080/00207178308933004

36. Kraus F.J., Anderson B.D.O., Jury E.I., Mansour M. On the robustness of low-order Schur polynomials // IEEE Transactions on Circuits and Systems. 1988. V. 35. N 5. P. 570–577. https://doi.org/10.1109/31.1786

37. Mansour M., Kraus F.J. On Robust Stability of Sсhur Polynomials: Report N 87-05, Inst. Autom. Cont. Ind. Electronics, Swiss, Fed. Inst. Tech. (ETH). Züric, 1987. 34 p.

38. Акунов Т.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Использование системных грамианов в задачах параметрической инвариантности непрерывных систем // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2005. Т. 5. № 3. С. 39–43.

39. Omorov R.O. Robustness of interval dynamic systems I. Robustness in continuous linear interval dynamic systems // Journal of Computer and Systems Sciences International. 1996. V. 34. N 3. P. 69–74.

40. Omorov R.O. Robustness of interval dynamical systems. II. Robustness of discrete linear interval dynamical systems // Journal of Computer and Systems Sciences International. 1996. V. 34. N 4. P. 1–5.

41. Оморов Р.О. О дискретном аналоге теоремы Харитонова // Наука и новые технологии. 2002. № 3. С. 5–10.

42. Оморов Р.О. Робастная устойчивость интервальных динамических систем. Бишкек: Илим, 2018. 104 с.

43. Omorov R.O. Robustness of Interval Dynamic Systems. II // Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. № 12. С. 3–7.

44. Оморов Р.О. Робастность интервальных динамических систем // Математическая теория управления и ее приложения (МТУИП-2020): материалы конференции, Санкт-Петербург, 7-8 октяб ря 2020 г. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2020. С. 333–335.

45. Haken H. Advanced Synergetics: Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems and Devices. Berlin, Springer-Verlag, 1983.

46. Nikolis G., Prigogine I. Exploring Complexity: An Introduction. W.H. Freeman Publ., 1989. 313 p.

47. Странные аттракторы: Сб. статей / пер. с англ. под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1981. 253 с.

48. Zhang W.-B. Synergetic Economics: Time and Change in Nonlinear Economics. Berlin: Springer-Verlag, 1991. 264 p.

49. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозыбудущего. 2-е изд. М.: Эдиториал-УРСС, 2001. 288 с.

50. Леонов Г.А., Кузнецов Н.В., Кудряшова Е.В. Тунис 2011-2014. Бифуркация, революция и управляемая стабилизация // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2016. № 4. С. 92–103. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2016.409

51. Andrievskii B.R., Fradkov A.L. Control of chaos: Methods and applications. I. Methods // Automation and Remote Control. 2003. V. 64. N 5. P. 673–713. https://doi.org/10.1023/A:1023684619933

52. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного синтеза. 2-е изд. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. 240 с.

53. Peixoto M.M. On structural stability // Annals of Mathematics. 1959. V. 69. N 1. P. 199–222. https://doi.org/10.2307/1970100

54. Оморов Р.О. Топологическая грубость и бифуркации синергетических систем // Математическая теория управления и ее приложения (МТУИП-2020): материалы конференции, Санкт Петербург, 7-8 октября 2020 г. СПб.: АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2020. С. 28–30.

55. Александров П.С. Пуанкаре и топология (Poincaré and topology) // Пуанкаре А. Избранные труды. Т 2. М.: Наука, 1972. pp. 808– 816.

56. Hopf E. Abzweigungen einer periodischen Losung von elner statlonaren Losung eines differential systems. Wissenschaften, Leipzig, 1942. V. 94. P. 1–22.

57. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983. 301 с.

58. Chow S.N., Hale J.K. Methods of Bifurcation Theory. Springer Verlag, 1982. 515 p.

59. Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г., Андронов А.А. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 488 с.

60. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.

61. Арнольд В.И. Теория катастроф // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1986, С. 219–277