Сфероидальные модели рудных месторождений в рамках гравитационной томографии

Введение. Представлено одно из решений задачи гравиметрии — определение рудных месторождений в мантии и коре Земли путем обработки гравитационного поля, измеренного на поверхности Земли. Предлагаемая методика предполагает решение этой формально технической задачи путем создания математической модели с возможностью компьютерного моделирования. Существующие подходы гравиметрии для отыскания месторождений требуют использования технических средств, в частности, бурильных установок. Предлагаемая методика дает возможность оценить залегание месторождений путем компьютерной обработки измеренного гравитационного поля на поверхности Земли. Метод. Суть решения прямой задачи гравиметрии состоит в расчете модельной (или измеренной) гравитационной напряженности на поверхности Земли с разбиением каждого тела месторождения на набор вертикальных стержней. При решении обратной задачи определения месторождения каждое тело моделируется однородным сфероидом. Известные расчетные соотношения для гравитационной напряженности сфероида преобразовываются в форму, удобную для реализации на компьютере путем нелинейного программирования. Определение параметров сфероида выполняется методом минимизации сглаживающего функционала Тихонова с ограничениями на параметры. Это позволяет сделать обратную некорректную (неустойчивую) задачу однозначной и устойчивой. Основные результаты. Предложенная методика проиллюстрирована численным модельным примером с месторождением в виде двух, а также пяти тел. Обратная задача гравиметрии трактуется как гравитационная томография, или «внутривидение» мантии и коры Земли, что позволяет визуализировать месторождение без погружения вглубь Земли. Описанный алгоритм дает возможность математико-компьютерным путем определить возможное наличие месторождения, оценить его параметры (тип, размер, глубина залегания, плотность и др.) при минимальных технических и финансовых затратах. Результаты гравитационной томографии могут служить начальным приближением при выборе мест и глубины бурения скважин. Обсуждение. В существующих подходах гравиметрии требуется использовать технические средства (бурильные установки и др.) для отыскания месторождений в Земле, а изложенная методика позволяет оценить залегание месторождений путем математико-компьютерной обработки измеренного гравитационного поля на поверхности Земли без применения дорогостоящих технических средств. Результаты гравитационной томографии могут служить начальным приближением при поиске месторождений техническими средствами при бурении скважин.

1. Commer M. Three-dimensional gravity modelling and focusing inversio n using rectangular meshes // Geophysical Prospecting. 2011. V. 59. N 5. P. 966–979.https://doi.org/10.1111/j.1365-2478.2011.00969.x

2. Pilkington M. Evaluating the utility of gravity gradient tensor com ponents // Geophysics. 2014. V. 79. N 1. P. G1–G14. https://doi.org/10.1190/GEO2013-0130.1

3. Salem A., Green C., Stewart M., De Lerma D. Inversion of gravity da ta with isostatic constraints // Geophysics. 2014. V. 79. N 6. P. A45– A50. https://doi.org/10.1190/GEO2014-0220.1

4. Сизиков В.С., Голов И.Н. Моделирование месторождений сфероидами // Физика Земли. 2009. № 3. С. 83–96.

5. Jahandari H., Farquharson C.G. Forward modeling of gravity data usi ng finite-volume and finite-element methods on unstructured grids // Geophysics. 2013. V. 78. N 3. P. G69–G80. https://doi.org/10.1190/geo2012-0246.1

6. Michel V., Wolf K. Numerical aspects of a spline-based multiresolut ion recovery of the harmonic mass density out of gravity functionals // Geophysical Journal International. 2008. V. 173. N 1. P. 1–16. https://doi.org/10.1111/j.1365-246x.2007.03700.x

7. Salem A., Green C., Campbell S., Fairhead J.D., Cascone L., Moorhea d L. Moho depth and sediment thickness estimation beneath the Red Sea derived from satellite and terrestrial gravity data // Geophysics. 2013. V. 78. N 5. P. G89–G101. https://doi.org/10.1190/geo2012-0150.1

8. Керимов И.А. Методы гравитационной томографии на основе F-аппроксимации // Геология и геофизика Юга России. 2020. Т. 10. № 1. С. 55–67. https://doi.org/10.23671/VNC.2020.1.59065

9. Bosold A., Schwarzhans W., Julapour A., Ashrafzadeh A.R., Ehsani S. M. The structural geology of the High Central Zagros revisited (Iran) // Petroleum Geoscience. 2005. V. 11. N 3. P. 225–238. https://doi.org/10.1144/1354-079304-646

10. Michel V., Fokas A.S. A unified approach to various techniques for the non-uniqueness of the inverse gravimetric problem and waveletbased methods // Inverse Problems. 2008. V. 24. N 4. P. 045019. https://doi.org/10.1088/0266-5611/24/4/045019

11. Долгаль А.С., Шархимуллин А.Ф. О гравитационной томографии и путях ее дальнейшего развития // Вестник Пермского университета. 2009. № 11. С. 114–120.

12. Hirt C., Rexer, M., Scheinert M., Pail R., Claessens S., Holmes S. A new degree-2190 (10 km resolution) gravity field model for Antarctica developed from GRACE, GOCE and Bedmap2 data // Journal of Geodesy. 2016. V. 90. N 2. P. 105–127. https://doi.org/10.1007/s00190-015-0857-6

13. Zhdanov M.S., Ellis R., Mukherjee S. Three-dimensional regularized focusing inversion of gravity gradient tensor component data // Geophysics. 2004. V. 69. N 4. P. 925–937. https://doi.org/10.1190/1.1778236

14. MacLennan K., Karaoulis M., Revil A. Complex conductivity tomograp hy using low-frequency crosswell electromagnetic data // Geophysics. 2014. V. 79. N 1. P. E23–E38. https://doi.org/10.1190/geo2012-0531.1

15. Марусина М.Я., Казначеева А.О. Современное состояние и перспективы развития томографии // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. 2007. № 42. С. 3–13.

16. Сизиков В.С. Обратные прикладные задачи и MatLab. СПб.: Лань, 2011. 256 с.

17. Булах Е.Г., Маркова М.Н. Обратные задачи гравиметрии для совокупности тел класса Л.Н. Сретенского // Физика Земли. 2008. № 7. С. 21–27.

18. Grafarend E.W., You Rey-Jer., Syffus R. Map Projections: Cartograph ic Information Systems. Springer. 2014. 961 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-36494-5

19. Chen Z., Ding S., Xu Y., Yang H. Multiscale collocation methods for ill-posed integral equations via a coupled system // Inverse Problems. 2012. V. 28. N 2. P. 025006. https://doi.org/10.1088/0266-5611/28/2/025006

20. Lahmer T. Optimal experimental design for nonlinear ill-posed probl ems applied to gravity dams // Inverse Problems. 2011. V. 27. N 12. P. 125005. https://doi.org/10.1088/0266-5611/27/12/125005

21. Fischer D., Michel V. Sparse regularization of inverse gravimetry– case study: spatial and temporal mass variations in South America // Inverse Problems. 2012. V. 28. N 6. P. 065012. https://doi.org/10.1088/0266-5611/28/6/065012

22. Frick K., Martinz P., Munk A. Shape-constrained regularization by s tatistical multiresolution for inverse problems: asymptotic analysis // Inverse Problems. 2012. V. 28. N 6. P. 065006. https://doi.org/10.1088/0266-5611/28/6/065006

23. Vatankhah S., Renaut R.A., Ardestani V.E. Regularization parameter estimation for underdetermined problems by the χ2 principle with application to 2D focusing gravity inversion // Inverse Problems. 2014. V. 30. N 8. P. 085002. https://doi.org/10.1088/0266-5611/30/8/085002

24. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 197 5. 534 с.

25. Mottl J., Mottlova L. The simultaneous solution of the inverse prob lem of gravimetry and magnetics by means of non-linear programming // Geophysical Journal International. 1984. V. 76. N 3. P. 563–579. https://doi.org/10.1111/j.1365-246x.1984.tb01910.x