Устойчивость высокоупругой прямоугольной пластинки с защемленно-свободными краями при одноосном сжатии

Введение. Изучены симметричные формы потери устойчивости прямоугольной пластинки Кирхгоффа с двумя защемленными и двумя свободными параллельными гранями под действием распределенной сжимающей нагрузки, приложенной к защемленным граням. Метод. Функция прогибов пластинки при потере устойчивости представлена двумя гиперболо-тригонометрическими рядами с неопределенными коэффициентами, которые получены при точном удовлетворении всех условий краевой задачи. Проблема поиска сведена к решению однородной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно одной последовательности неопределенных коэффициентов, которая в качестве параметра содержит искомую критическую нагрузку. Для получения нетривиальных решений определитель системы должен быть равен нулю. Эта задача на собственные значения имеет бесчисленное множество решений. Hетривиальные решения системы предложено находить методом последовательных приближений с перебором параметра нагрузки. Основные результаты. С помощью компьютерных вычислений найдены первые четыре критические нагрузки (включая эйлерову), приложенные к защемленным параллельным граням квадратной пластинки и дающие симметричные формы потери устойчивости. Исследовано влияние количества членов, удерживаемых в рядах, и числа итераций на точность вычислений. Представлены 3D-изображения найденных форм потери устойчивости. Приведено сравнение с известными решениями. Обсуждение. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании различных плоских прямоугольных элементов в микроэлектронике и нанотехнике.

1. Kshirsagar S., Bhaskar K. Accurate and elegant free vibration and buckling studies of orthotropic rectangular plates using untruncated infinite series // Journal of Sound and Vibration. 2008. V. 314. N 3-5. P. 837–850. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2008.01.013

2. Civalek Ö. Application of differential quadrature (DQ) and harmonic differential quadrature (HDQ) for buckling analysis of thin isotropic plates and elastic columns // Engineering Structures. 2004. V. 26. N 2. P. 171–186. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2003.09.005

3. Lee S.J. Buckling analysis of rectangular plates using an enhanced 9-node element // Architectural Research. 2016. V. 18. N 3. P. 113– 120. https://doi.org/10.5659/AIKAR.2016.18.3.113

4. Ebrahimi F., Barati M.R. Buckling analysis of piezoelectrically actuated smart nanoscale plates subjected to magnetic field // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2017. V. 28. N 11. P. 1472–1490. https://doi.org/10.1177/1045389x16672569

5. Wang Z., Xing Y., Sun Q., Yang Y. Highly accurate closed-form solutions for free vibration and eigenbuckling of rectangular nanoplates // Сomposite Structures. 2019. V. 210. P. 822–830. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2018.11.094

6. Tyukalov Yu.Ya. Method of plates stability analysis based on the moments approximations // Magazine of Civil Engineering. 2020. Т. 95. № 3. С. 90–103. https://doi.org/10.18720/MCE.95.9

7. Tenenbaum J., Eisenberger M. Analytical solutions for plate buckling from static analysis approach // Analysis and Design of Plated Structures. Elsevier, 2022. P. 1–31. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-823570-6.00009-4

8. Analooei H.R., Azhari M., Heidarpour A. Elastic buckling and vibration analyses of orthotropic nanoplates using nonlocal continuum mechanics and spline finite strip method // Applied Mathematical Modelling. 2013. V. 37. N 10-11. P. 6703–6717. https://doi.org/10.1016/j.apm.2013.01.051

9. Анненков Л.В. Исследование устойчивости защемленной прямоугольной пластины, сжатой в одном направлении // Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова. 2015. № 3(31). С. 48–53. https://doi.org/10.21821/2309-5180-2015-7-3-48-53

10. Wang B., Li P., Li R. Symplectic superposition method for new analytic buckling solutions of rectangular thin plates // International Journal of Mechanical Sciences. 2016. V. 119. P. 432–441. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2016.11.006

11. Onwuka D.O., Iwuoha S.E. Elastic instability analysis of biaxially compressed flat rectangular isotropic all-round clamped (CCCC) plates // MedCrave Online Journal of Civil Engineering. 2017. V. 2. N 2. P. 52‒56. https://doi.org/10.15406/mojce.2017.02.00027

12. Wang W., Rong D., Xu C., Zhang J., Xu X., Zhou Z. Accurate buckling analysis of magnetically affected cantilever nanoplates subjected to in‑plane magnetic fields // Journal of Vibration Engineering & Technologies. 2020. V. 8. N 4. P. 505–515. https://doi.org/10.1007/s42417-019-00106-3

13. Сухотерин М.В., Кныш Т.П., Пастушок Е.М., Абдикаримов Р.А. Устойчивость упругой ортотропной консольной пластинки // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математи­ческие науки. 2021. Т. 14. № 2. С. 38–52. https://doi.org/10.18721/JPM.14204

14. Sukhoterin M., Baryshnikov S., Knysh T., Rasputina E. Stability of rectangular cantilever plates with high elasticity // E3S Web of Conferences. 2021. V. 244. P. 04004. https://doi.org/10.1051/e3sconf/202124404004

15. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Изд-во «Будiвельник», 1973. 488 с.

16. Сухотерин М.В., Распутина Е.И., Пижурина Н.Ф. Смешанные формы свободных колебаний прямоугольной CFCF-пластины // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2023. Т. 23. № 2. C. 413–421. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2023-23-2-413-421

17. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Гос. изд-во физ.-матем. литературы, 1963. 635 с.